Integrale
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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saifert
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par saifert » 23 Déc 2007, 17:43
Bonjour,
Alors il faut montrer que :
}{a^2 + t^2}dt = \frac{\pi ln(a)}{2a})
avec a > 0.
J'ai essaye par IPP, par changement de variable... mais j'arrive a des expressions que j'arrive pas a integrer. :triste: Intuitivement je crois qu'on aura affaire a des arctan et/ou des ln..... mais voila.
Qqn pourrai me donner une piste ?
Merci bien d'avance.
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trust
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par trust » 23 Déc 2007, 17:47
t'as déjà fait de l'analyse complexe dis? si oui, utilise une détermination du logarithme et le théorème des résidus...
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Nightmare
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par Nightmare » 23 Déc 2007, 19:51
Bonsoir :happy3:
Il est naturel de poser
On a alors :
+ln(u)}{a(1+u^{2})}du=\frac{ln(a)}{a} \Bigint_{0}^{+\infty} \frac{du}{1+u^{2}}+\frac{1}{a}\Bigint_{0}^{+\infty} \frac{ln(u)}{1+u^{2}}du=\frac{\pi ln(a)}{2a}+\frac{1}{a}\Bigint_{0}^{+\infty} \frac{ln(u)}{1+u^{2}}du)
Reste à montrer que la deuxième intégrale est nulle.
}{1+u^{2}}du=\Bigint_{0}^{1} \frac{ln(u)}{1+u^{2}}du+\Bigint_{1}^{+\infty} \frac{ln(u)}{1+u^{2}}du)
En posant x=1/u la seconde intégrale vaut
}{x^{2}+1}dx)
et donc
}{1+u^{2}}du=0)
:happy3:
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trust
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par trust » 23 Déc 2007, 20:30
Ou encore, on a
}{a^2 + t^2}dt = Re(\int_{0}^{\infty} \frac {Log(t)}{a^2+t^2}dt) = Re(i\pi.res(\frac {Log(t)}{a^2+t^2},ai) = \frac {\pi ln(a)}{2a})
où
est la détermination du logarithme sur
. ( ce truc marche en fait parce que
).
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saifert
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par saifert » 23 Déc 2007, 21:15
salut,
non, je n'ai pas fait de l'analyse complexe trust ... et donc je comprends mieux la reponse de nightmare. j'avais effectivement pose ce changement de variable, mais comme je me retrouvai avec cette 2eme integrale,que je ne savais pas integrer... et j'avais pas penser a demontrer qu'elle etait egale a 0, car je n'avais pas calculer la 1ere. :mur:
merci de nouveau.
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trust
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par trust » 23 Déc 2007, 21:46
:++: en tout cas, si un jour, t'as la chance de faire de l'analyse complexe, jte le conseille, c'est interessant à voir...
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