Zéro d'une fonction

par **kawter** » 18 Juil 2007, 17:59

bonjour,
pouvez vous m'aider à résoudre cet exercice en fait j'ai oublié la formulaire à utiliser:
Soit une fonction définie sur un intervalle fermé [a,b] de diamètre 1. on sait qu'elle est continue sur [a,b] et y admet un unique zéro x0( c'est à dire : f(x0)=0). on se propose de déterminer une valeur approché de x0 à 10-4 prés
donner une méthode pour déterminer une valeur approchée de x0.

d'avance merci. :help:

par **Gold Fish** » 18 Juil 2007, 18:05

Si je me rappelle bien, tu dois procéder par balayage, et parfois, en particulier, par dichotomie (pas sur du terme).

par **kawter** » 18 Juil 2007, 18:31

désolée pouvez vous détailler encore plus car j'ai pas compris. :girl2:

par **anima** » 18 Juil 2007, 19:02

kawter a écrit:désolée pouvez vous détailler encore plus car j'ai pas compris. :girl2:

Tu prends ton intervalle; tu trouves le signe aux 2 bornes. Supposons un intervalle ainsi:
[a,b] f(a)0
Prends la valeur médiane entre a et b ((a+b)/2 si tu as oublié).
Si f(a+b/2) < 0, la solution se trouve comprise dans [a+b/2,b]. Sinon, elle est dans [a,a+b/2]
Et on répete ainsi...

conditions: f continue sur [a,b] et si possible uniforme, sinon bonjour la galere.

par **quinto** » 18 Juil 2007, 19:20

anima a écrit:conditions: f continue sur [a,b] et si possible uniforme, sinon bonjour la galere.

Qu'entends-tu par là ?

par **anima** » 18 Juil 2007, 19:25

quinto a écrit:Qu'entends-tu par là ?

Prends f: x->1/x entre -1 et 2; un intervalle [-1;0[U]0,2[ donc.
Or, f(-1) 0 et pourtant, il n'y a pas de racine entre -1 et 2. Voila pour la continuité

Pour ce qui est de l'uniformité, j'ai dit cela un peu vite, mais il est en général mieux d'étudier un intervalle ou on sait qu'il n'y aura qu'une seule racine. Supposons qu'une fonction dans [1,2] s'annule 4 fois; une dichotomie peut donc tres rapidement devenir chaotique...et n'aboutir que sur un des 4 "zéros".

Enfin, il existe quand meme une solution a ce petit désagrément: étudier la dérivée de la fonction afin d'avoir la croissance, et de pouvoir donc déterminer les maximums pour faire une "jolie" dichotomie tout propre! :p

par **Lierre Aeripz** » 18 Juil 2007, 19:56

Voulais-tu dire monotone plutôt qu'uniforme ?

par **quinto** » 18 Juil 2007, 20:16

anima a écrit:Prends f: x->1/x entre -1 et 2; un intervalle [-1;0[U]0,2[ donc.

Ce n'est déjà pas un intervalle.

En fait c'est le terme uniforme que je ne comprend pas.
a+

par **cesar** » 18 Juil 2007, 20:33

anima a écrit:Tu prends ton intervalle; tu trouves le signe aux 2 bornes. Supposons un intervalle ainsi:
[a,b] f(a)0
Prends la valeur médiane entre a et b ((a+b)/2 si tu as oublié).
Si f(a+b/2) < 0, la solution se trouve comprise dans [a+b/2,b]. Sinon, elle est dans [a,a+b/2]
Et on répete ainsi...

conditions: f continue sur [a,b] et si possible uniforme, sinon bonjour la galere.

je voudrais paraitre rabat joie, mais rien ne dit dans l'enoncé que la fonction change de signe au niveau de sa racine... Imaginez une parabole dont le sommet touche l'axe des x....1 racine et pas de changement de signe.

on ne sait meme pas si elle est derivable...

la methode bete et pas si sure que cela : on calcule f(x) pour x variant de a à b avec un pas de 10^-4....comme b-a =1, cela ne fait que 10000 iterations... et l'on prend x tel que |f(x)| soit minimum....
même si c'est lourd, c'est pas sur du tout : imaginez une fonction qui frole l'axe des x...
le probleme est nettement plus complexe qu'il n'y parait...

par **kawter** » 18 Juil 2007, 21:37

que faire donc ? :triste:

par **kazeriahm** » 18 Juil 2007, 22:00

on peut définir une suite récurrente un+1=f(un)+un avec u0 choisit de telle manière a ce que la suite (u_n) converge (bon c'est douteux mais...) et dans ce cas la limite d'une telle suite est l point fixe de x->f(x)+x, donc

l=f(l)+l ie f(l)=0 et l est le zéro recherchée

mais bon il faut placer u_0 pour etre sur que ca converge, reste à savoir si c'est possible à chaque fois, et ensuite à regarder les valeurs de u_n très loin, oui mais ou ?

par **BiZi** » 18 Juil 2007, 22:00

kawter a écrit:que faire donc ? :triste:

Bonjour,

Je me souviens d'une méthode appelée "méthode de Newton" qui utilise les suites f-récurrentes... Cherche un peu sur internet tu devrais pouvoir trouver des trucs intéressants :we:

par **alben** » 18 Juil 2007, 22:19

Bonsoir,

Dans le cadre strict posé inintialement, c'est effectivement assez compliqué de fournir une méthode générale.
Heureusemennt une telle situation a peu de chance de se réaliser car pour affirmer que l'équation a une solution unique entre a et b, il aura fallut préalablement étudier la fonction, ce qui aura permis de savoir si elle change de signe ou pas, si elle a un unique extrémum....
En cas de changement de signe, la methode de dichotomie (cf anima) ou de la séquente marchent bien.
dans le cas général où l'on n'a pas d'autre info, on peut toujours adapter la mèthode de la séquente :
on prend deux valeurs arbitraires x1 et x2 dans [a,b] et l'on calcule pour quel valeur de x la droite passant par ces deux point s'annule, c'est x3 et l'on boucle avec l'un deux deux point et x3.
si f(x1)/f(x2) est trop proche de 1 ou si x3 dsort de l'intervalle, on change arbitrairement un des points.
NB si la fonction est vraiment tordue, aucune méthode autre que celle de Cesar ne marchera : il suffit d'imaginer une fonction quasi periodique (avec 100 periodes sur ab) sur lesquelles la fonction prend des valeurs comprises entre 1 et 2 sauf pour une, plus étroite où elle descend jusqu'à 0

par **cesar** » 19 Juil 2007, 07:35

BiZi a écrit:Bonjour,

Je me souviens d'une méthode appelée "méthode de Newton" qui utilise les suites f-récurrentes... Cherche un peu sur internet tu devrais pouvoir trouver des trucs intéressants :we:

la methode de newton necessite que la fonction soit dérivable...

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