Idéal maximal !!

par **barbu23** » 26 Juin 2007, 11:00

Bonjour:
Soit

une extension du corps

.
Soit

:

tel que:

et

:

.

est l'unique homomorphisme d'anneau vérifiant ces conditions là.
Considerons le noyau de

:

.

est un idéal principal ( c'est clair pourquoi).
Ma question : Pourquoi

est maximal.
et merçi infiniment !!!

par **barbu23** » 26 Juin 2007, 11:06

J'ai une autre question à vous poser, hors sujet de départ :
Est ce que vous savez comment determiner le nombre de solutions d'une équation de la forme :

avec :

ou

mais pas dans

parceque c'est très connu !!!
et merçi infiniment !!!
j'espère qu'elle n'est pas stupide cette question , mais c'est juste par curiosité que je demande ça et merçi dans tous cas !!

par **tize** » 26 Juin 2007, 11:09

Bonjour,
I(a) est un idéal principal car pour tout homomorphisme d'anneau Ker est un idéal, de plus K est un corps donc K[X] est principal donc I(a) est un idéal principal.
I(a) est maximal car (Théorème d'isomorphisme)

qui est un corps

par **yos** » 26 Juin 2007, 11:14

Pour Z c'est facile : tu multiplies par

.
Pour Q tu poses

où les

sont les dénominateurs des

par **barbu23** » 26 Juin 2007, 11:43

Merçi beaucoup yos et tize !!

par **barbu23** » 26 Juin 2007, 19:16

Bonsoir:
j'ai une autre question à vous poser toujours sur le même sujet:
Posons :

.
Ma question est :
Pourquoi si

est algébrique alors

?
Pourriez vous me dire ce que désigne ce symbole :

.. Est ce que c'est le signe d'isomorphisme .. comme

et merçi infiniment !!

par **tize** » 26 Juin 2007, 19:59

Bonsoir,
oui je pense que c'est le symbole d'isomorphisme par contre que signifie pour toi K(X) par rapport à K[X] ?

par **barbu23** » 26 Juin 2007, 20:01

désolé:

par **yos** » 26 Juin 2007, 20:03

A la main, ça donne :
Si a est algébrique, il existe P irréductible tel que P(a)=0.
Si

, alors Q est non multiple de P, donc Q est premier avec P donc UP+VQ=1, donc en évaluant en a, V(a)Q(a)=1, donc Q(a) est inversible dans K[a], donc K[a] est un corps, donc K[a]=K(a)

par **barbu23** » 26 Juin 2007, 20:05

Bonsoir tize:
D'après le cours:

est le plus petit sous corps engendré par

et

est le plus petit sous anneau engendré par

par **tize** » 26 Juin 2007, 20:09

yos a écrit:A la main, ça donne :
Si a est algébrique, il existe P irréductible tel que P(a)=0.
Si , alors Q est non multiple de P, donc Q est premier avec P donc UP+VQ=1, donc en évaluant en a, V(a)Q(a)=1, donc Q(a) est inversible dans K[a], donc K[a] est un corps, donc K[a]=K(a)

Merci Yos c'est limpide et ça clôt le sujet... :we:

par **yos** » 26 Juin 2007, 20:24

Merci de ton jugement. On doit pouvoir faire plus pro, mais pour comprendre, c'est aussi bien comme ça.

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