Idéal maximal !!

[barbu23]

Bonjour:
Soit une extension du corps .
Soit :

tel que: et : .
est l'unique homomorphisme d'anneau vérifiant ces conditions là.
Considerons le noyau de : .
est un idéal principal ( c'est clair pourquoi).
Ma question : Pourquoi est maximal.
et merçi infiniment !!!

[barbu23]

J'ai une autre question à vous poser, hors sujet de départ :
Est ce que vous savez comment determiner le nombre de solutions d'une équation de la forme : avec : ou mais pas dans parceque c'est très connu !!!
et merçi infiniment !!!
j'espère qu'elle n'est pas stupide cette question , mais c'est juste par curiosité que je demande ça et merçi dans tous cas !!

[tize]

Bonjour,
I(a) est un idéal principal car pour tout homomorphisme d'anneau Ker est un idéal, de plus K est un corps donc K[X] est principal donc I(a) est un idéal principal.
I(a) est maximal car (Théorème d'isomorphisme) qui est un corps

[yos]

Pour Z c'est facile : tu multiplies par .
Pour Q tu poses où les sont les dénominateurs des

[barbu23]

Merçi beaucoup yos et tize !!

[barbu23]

Bonsoir:
j'ai une autre question à vous poser toujours sur le même sujet:
Posons : .
Ma question est :
Pourquoi si est algébrique alors ?
Pourriez vous me dire ce que désigne ce symbole : .. Est ce que c'est le signe d'isomorphisme .. comme
et merçi infiniment !!

[tize]

Bonsoir,
oui je pense que c'est le symbole d'isomorphisme par contre que signifie pour toi K(X) par rapport à K[X] ?

[barbu23]

désolé:

[yos]

A la main, ça donne :
Si a est algébrique, il existe P irréductible tel que P(a)=0.
Si , alors Q est non multiple de P, donc Q est premier avec P donc UP+VQ=1, donc en évaluant en a, V(a)Q(a)=1, donc Q(a) est inversible dans K[a], donc K[a] est un corps, donc K[a]=K(a)

[barbu23]

Bonsoir tize:
D'après le cours: est le plus petit sous corps engendré par et est le plus petit sous anneau engendré par

[tize]

A la main, ça donne :
Si a est algébrique, il existe P irréductible tel que P(a)=0.
Si , alors Q est non multiple de P, donc Q est premier avec P donc UP+VQ=1, donc en évaluant en a, V(a)Q(a)=1, donc Q(a) est inversible dans K[a], donc K[a] est un corps, donc K[a]=K(a)

Merci Yos c'est limpide et ça clôt le sujet... :we:

[yos]

Merci de ton jugement. On doit pouvoir faire plus pro, mais pour comprendre, c'est aussi bien comme ça.