Complexe du sixième degré ?

[Hachann]

Bonjour,

Je suis entrain de bloquer sur quelque chose que je n'ai trouvé nul part ailleurs sur internet, dans les annales, dans les recueil d'exercices... Donc je poste ici parce que je suis vraiment entrain d'éprouver des difficultés sur ce "petit" exercice.

Niveau : Terminale S.

Exercice :

Déterminer dans le plan complexe les points M d'affixe z tels que:

z^6 - (1+i)z^3 + i = 0

J'ai essayé en posant X = z^3, comme ça je me retrouve avec une équation complexe du second degré :

X² - X + iX + i = 0
( X² - X) + i(X + 1) = 0

Et ainsi, j'aboutis à ce système :

X² - X + 0 = 0 (A) et X + 1 = 0 (B)

Sauf que les solutions en (A) ne collent pas pour (B), puisque je trouve X1 = 0 et X2 = 1.

Si quelques personnes pouvaient me sortir de tout ceci, ce serait fort sympathique.

En vous remerciant !

[emdro]

( X² - X) + i(X + 1) = 0

Et ainsi, j'aboutis à ce système :

X² - X + 0 = 0 (A) et X + 1 = 0 (B)

Bonsoir,

tu as utilisé le fait que a+ib=0a=b=0,
mais cela ne fonctionne que si a et b sont des réels.
Ici, ton X est complexe. Donc a et b sont complexes.

exemple:
(i)+i*(-1)=0 or i et -1 ne sont pas nuls.

[emdro]

Pour résoudre l'équation, dans le programme de TS, tu dois avoir des indications. Ou bien, c'est qu'il y a des racines "évidentes". Ici 1 par exemple. Tu peux factoriser ton polynôme par z-1.

[emdro]

z^6 - (1+i)z^3 + i = 0

J'ai essayé en posant X = z^3, comme ça je me retrouve avec une équation complexe du second degré :

X² - X + iX + i = 0

D'autre part, ce serait X² - X - iX + i = 0

[kazeriahm]

et donc c'est i qui est racine evidente

[Alpha]

"Complexe du sixième degré", c'est au moins une rencontre du 3ème type :ptdr:

[emdro]

et donc c'est i qui est racine evidente

i est une racine évidente de l'équation en X. Après, il faudra résoudre z^3=i...

Lorsque je parlais de 1 racine évidente, je parlais de l'équation du départ, ce qui semble plus intéressant.

[kazeriahm]

oula autant pour moi dans ma tete 1 n'était pas racine de 'équation en X...

bon donc on connait toutes les solutions mais je crois pas que ca soit facile pour un élève de terminale de résoudre z^3=1 ou z^3=i....

[quinto]

Tu poses mal ton équation.
Qui dit que tu dois résoudre
X^2-X = 0 et X+1=0 en même temps ?
Tu n'as absolument pas équivalence entre ton système et ton équation.

Tu as une équation du second degré, tu sais les résoudre normalement...

Ensuite tu trouves les racines cubiques de tes deux solutions.

[fonfon]

salut, de ton equation de depart 1 et -i sont solutions donc c'est factorisable par (z-1)(z+i)

A+

[emdro]

Ensuite tu trouves les racines cubiques de tes deux solutions.

Le problème c'est qu'un élève de TS ne sait pas trouver les trois racines cubiques en complexes.

D'un autre côté, la factorisation par (z-1)(z-i) donne un polynôme de degré 4 pas plus simple (en TS).

Ce problème doit être guidé.

[kazeriahm]

polynome de degré 4 qu'on peut encore factoriser par x+1. Je sais pas xce que ca donne

[emdro]

Non, on ne peut plus le factoriser par z-1 puisque les solutions sont les racines cubiques de 1 et celles de -i. 1 est donc une solution simple.

La factorisation est:


Et là ce n'est plus drôle du tout.

Il vaut mieux poser effectivement ,
obtenir ou ,
revenir à ou

Ensuite, on pose ,

et on n'oublie pas en résolvant la deuxième par exemple:

qui donne