Exercice tres complexe de complexe

par **puerta del sol** » 11 Oct 2009, 12:19

Bonjour à tous,
je sollicite votre aide pour cet exercice de complexe qui reste pour moi un mystere :

P est un polynôme défini dans l'ensemble des complexes par P(z) = z(cube)+ z² - 4z+ 6

1.Démontrer que pour tout complexe z on a [P(z)](barre)= P(z barre)

2. Vérifier que 1+i est racine de ce polynôme . En utilisant le théorème de factorisation des polynômes, montrer que l'on peut écrire P(z) sous la forme
P(z) = (z-(1+i)) (az²+bz+c).

3. En utilisant la première question, trouver une deuxième racine, et en déduire une troisième.

mes réponses: 1) et 2) j'ai fait des calculs d'une page pour chaque question mais qui ne me mènent a aucun resultat. Y a-t-il une méthode ?
3) y-a-t-il une formule?

merci beaucoup d'avance

par **Ericovitchi** » 11 Oct 2009, 12:33

le 1) est simple puisque le carré ou le cube du conjugué c'est le conjugué du carré ou du cube.

pour le 2) développes P(z) = (z-(1+i)) (az²+bz+c) et identifies les facteurs de même degré, ça te fera un système d'équation en a,b,c

par **puerta del sol** » 11 Oct 2009, 13:11

1)
Pour [P(z)] barre, je trouve : x²+3x(-y) +x² -y² -4x +6 -3ix²y -i(y cube) +2ixy -4iy

et pour P(z barre), je trouve : x(cube)+ x² +y²(-3x+2)-4x +6 +i(-3x²y- 2xy +4y)

Où est mon erreur ?

par **Ericovitchi** » 11 Oct 2009, 13:19

ca sert à rien de faire tout ça. il suffit que tu t'appuies sur

aucun de besoin de passer par des x+iy

par **puerta del sol** » 11 Oct 2009, 13:28

2)
quand je developpe, je trouve : a(z cube) - az²- iaz²+ bz² - bz- ibz +cz -c -ic
: a( zcube -z² - iz²) + b(z²-z-iz) + c(z-1-i)

donc a= zcube -z² - iz² = 1
b= z² - z -iz = 1
c = z-1-i = -4z+6

Est-ce juste?

par **Finrod** » 11 Oct 2009, 13:34

Je veux bien que tu expliques d'où tu sors les dernières égalités.

ce ne sont pas les coeff de vant a, b et c qui nous intéresse mais les coeff devant

, z², z et constant. En développant tu en trouve qui dépendent de a , b et c et tu dois les identifier aux coefficients de ton polynôme de départ.

par **puerta del sol** » 11 Oct 2009, 14:05

les coeff sont 1, 1 et -4 mais ce sont les i qui me gênent ...

par **Ericovitchi** » 11 Oct 2009, 14:12

les i tu les laisses, ce sont des nombres (complexes) comme les autres.

par **puerta del sol** » 11 Oct 2009, 14:48

c= z+ 5z= 7
donc 6z=7
z = 7/6

et apres ?

par **Ericovitchi** » 11 Oct 2009, 15:05

Pourquoi tu as encore des z. tu nous fais de la bouillie.
Si tu regardais ce que l'on te dit dans les posts, on gagnerait du temps.
On t'a dit de développer :

=

D'identifier les termes avec

a=1
-a-ia+b=1 ---> b= 2+i
-b-ib+c=-4 ---> c=-3+3i
-c-ic=6 --->c=-3+3i

Tout ça pour en arriver à :

Exercice tres complexe de complexe

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