Algèbre

par **mehdi-128** » 19 Mai 2007, 13:58

Notons T la transposée,m et g sont des vecteurs de R^n et B une matrice carrée symétrique d'ordre n:Soit l'application:
m(p)=T(g)*p+(1/2)*T(p)*B*p
Montrer que si g appartient a Im(B) et que B est semi positive c'est a dire T(p)*B*p>=0 alors m possède un minimum global sur R^n.

Indication:lorsque B*p=g ,calculer m(-p+w)-m(-p) ou w est un vecteur de R^n.
En fait je ne vois pas du tout comment faire.....

par **mehdi-128** » 19 Mai 2007, 14:33

Y a t-il quelqu'un qui pourrait m'aider je bloque complètement la?Je ne vois pas comment utiliser l'indication...

par **Daniel-Jackson** » 19 Mai 2007, 18:00

Salut mehdi-128,

Je suis nouveau sur le forum et en me promenant un peu ici je suis tombé sur ton exo.
Je sais pas mais il y'a quelque chose qui me dérange dans l'énoncé .

Parce que si tu suppose que B est semi positive et bien ça veut déjà dire que ton application est positive : m(p) >= 0 , pour tout p , car on a T(p)*p >=0 et T(p)*B*p >=0 .

Et de plus on peut majorer m de cette façon : |m(p)| =< |p|² + (1/2) |B|*|p|²

Donc cette application tends vers 0 avec la norme ... et donc on peut s'approcher aussi près de 0 qu'on veut ... et par conséquent l'existence d'un minimum globale sur R* ( ou bien R^n étoile ?) me parait un peu ... étrange !

par **fahr451** » 19 Mai 2007, 19:28

p étant un élément de R^n je comprends avec de la bonne volonté que le minimum est à chercher sur R^n il vaut donc 0

ce qui est un résultat évident donc l'exercice est étrange

l'idéal serait un énoncé juste.

par **mehdi-128** » 19 Mai 2007, 23:30

http://isfa.univ-lyon1.fr/fr/cadres.htm
sujet 2004-2005 option A
Voila ,j'ai vérifié je pense pas qu'il y ai d'erreur.....

par **fahr451** » 20 Mai 2007, 01:37

je veux bien aller voir le sujet mais je ne veux pas chercher sur un site
peux tu donner un lien direct stp ou me dire où chercher je n'ai pas vu de sujet

par **mehdi-128** » 20 Mai 2007, 08:12

Bah en fait prends ce lien puis va dans dossiers d'inscription en haut de la page,puis clique sur annales des derniers concours tout en bas de la page ,enfin c'est la deuxième épreuve de mathématiques option A.

par **Daniel-Jackson** » 20 Mai 2007, 09:32

mehdi-128 a écrit:Bah en fait prends ce lien puis va dans dossiers d'inscription en haut de la page,puis clique sur annales des derniers concours tout en bas de la page ,enfin c'est la deuxième épreuve de mathématiques option A.

Je suis allé voir mais il y'a comment dire plusieurs années , tu parles de celui de 2006 ?

par **mehdi-128** » 20 Mai 2007, 09:48

Non c'est le sujet 2004.

par **fahr451** » 20 Mai 2007, 09:59

fahr451 a écrit:p étant un élément de R^n je comprends avec de la bonne volonté que le minimum est à chercher sur R^n il vaut donc 0

ce qui est un résultat évident donc l'exercice est étrange

l'idéal serait un énoncé juste.

et ben si j'avais raison erreur d'énoncé pas sur R* aucun sens puisque
p est dans R^nn pas sur R^n * car danieljackson l'a dit c'est faux

mais sur R^n

un énoncé avec erreur est un énoncé qui décourage les bonnes volontés...

ton énoncé après lecture du sujet original est complètement faux car c'est gTp et non ce que tu as écrit et ce terme n'est pas positif!!!

par **Daniel-Jackson** » 20 Mai 2007, 10:49

fahr451 a écrit:et ben si j'avais raison erreur d'énoncé pas sur R* aucun sens puisque
p est dans R^nn pas sur R^n * car danieljackson l'a dit c'est faux

mais sur R^n

un énoncé avec erreur est un énoncé qui décourage les bonnes volontés...

ton énoncé après lecture du sujet original est complètement faux car c'est gTp et non ce que tu as écrit et ce terme n'est pas positif!!!

En effet l'erreur est énorme !
Mais bon c'est pas grave , là maintenant je comprends.

par **mehdi-128** » 20 Mai 2007, 11:43

Ah ok je suis désolé de l'erreur merci de vous y etre intéressé, et si vous avez des idées sur la question je suis preneur.

par **Daniel-Jackson** » 20 Mai 2007, 12:46

mehdi-128 a écrit:Ah ok je suis désolé de l'erreur merci de vous y etre intéressé, et si vous avez des idées sur la question je suis preneur.

Dommage je ne maitrise pas latex mais en faisant le calcul tu tombe sur ça :

Et là comme

on a

Et tu simplifie et au final tu obtiens que :

Donc quelque soit

,

Tu écris chaque vecteur u comme

,

et donc quelque soit

.
Ton minimum tu l'as, il est atteint en -p :

par **mehdi-128** » 20 Mai 2007, 19:29

merci beaucoup pour l'aide.

par **mehdi-128** » 20 Mai 2007, 19:58

Ensuite on me demande de calculer le gradient en p de m(p);en utilisant des coordonnées pour le vecteur g et la matrice B.J'obtiens un résultat énorme ca me prends 3 lignes,pas sur d'avoir tout saisi.....Si quelqu'un aurait une méthode simple et rapide ,je suis preneur....

par **Daniel-Jackson** » 20 Mai 2007, 21:17

Oui il t'indiquent d'utiliser des cordonnées .

M est une fonction en p. Si tu choicis p qui a pour coordonnées

, tu exprime m comme une fonction de n variable à valeur dans

, donc la notion de gradient a bien un sens.

Le gradient est la matrice transposée de la jacobienne ( qui est une matrice ligne) donc un vecteur colonne dont les coordonnées sont les dérivées partielles dans l'ordre...

par **mehdi-128** » 20 Mai 2007, 21:38

Oui merci
j'ai calculé m(p) avec les coordonnées des vecteurs dans la base canonique:

m(p)=sum(i=1...n)(gi*pi)+sum(i=1...n)sum(l=1...n)(pi*pl*bil)

par **mehdi-128** » 20 Mai 2007, 21:42

Mais je bloque sur le calcul du gradient ensuite ,car l'expression est un peu 'lourde'....

par **mehdi-128** » 20 Mai 2007, 22:04

Ah en fait j'ai réussi a calculer le gradient ca me donne :dans la base canonique (e1....en):

grad(m)(p)=sum(k=1...n)(gk.ek)+sum(k=1...n)(pk*bkk.ek)+sum(k=1...n)sum(l=1....n ,l different de k)(pl*bl1.ek)

Mais je n'est aucune idée pour la question suivante:en déduire réciproquement si m possède un minimum global sur R^n alors g appartient a Im(B) et B est semi positive.
Merci

par **manelle** » 21 Mai 2007, 12:22

Je ne te suis pas tout à fait dans ton gradient :
en fait je trouve en p , dm (h) = T(g) h + T(p) B h
d'où grad m = T(g) + T(p) B
à écrire donc avec les coordonnées comme demandé mais je n'en vois pas encore l'intérêt .

Par contre cela permet effectivement d'établir la réciproque :
si p critique alors grad m = 0 d'où T(g) = - T(p) B = - T(Bp)
d'où g = B (-p) et g appartient à Im B .
il reste à établir que B est semi-positive car p est un minimum de m ...

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