Algèbre linéaire: rg(AB) <= min(rg(A), rg(B)) [SPE]

[Matthieu31]

Bonsoir,

Je cherche à démontrer le résultat suivant:


avec A matrice n*p et B matrice p*m (donc AB matrice n*m).

Quelqu'un à t-il des idées de démonstration à proposer ?

Merci d'avance !

[leon1789]

pour toi, qu'est que le rang d'une matrice ?

[Matthieu31]

Le rang de l'application linéaire canoniquement associé par exemple, cad la dimension de son image...
On peut biensur raisonner en termes d'endomorphismes si c'est plus simple.

[leon1789]

Le rang de l'application linéaire canoniquement associé par exemple, cad la dimension de son image...
On peut biensur raisonner en termes d'endomorphismes si c'est plus simple.

ok !

En termes d'applications linéaires, à quoi correspond le produit AB ?

[Maxmau]

Bj
Soit f dans L(E,F) et g dans L(F,G)
On a : gof (E) contenu dans g(F)

[Matthieu31]

(J'aurais peut-être du préciser que je suis en spé étoile.)
Je me doute que la démonstration doit être simple, d'autant plus que le résultat paraît évident... mais j'ai pas encore réussis à formuler ça correctement... :triste:

gof(E) contenu G nous indique que rg(gof) <= dimG, mais ce n'est d'ailleurs qu'une conséquence plus faible que ce que nous donne le théoreme de rang appliqué à gof... comment s'en servir...?
D'autant plus qu'on ne peut utiliser un tel raisonnement une deuxième fois vu que fog n'a pas de sens...

En l'appliquant j'ai:
rg(gof) + dim(Ker(gof)) = dimG
Par ailleurs:
dim(Ker(gof)) >= dim(Ker(f)) (car g est linéaire)


Merci pour d'autres idées ou approfondissements...

[leon1789]

gof(E) contenu G nous indique que rg(gof) <= dimG, mais ce n'est d'ailleurs qu'une conséquence plus faible que ce que nous donne le théoreme de rang appliqué à gof... comment s'en servir...?

non, ceci n'est pas une conséquence du théorème du rang : rg(gof) <= dimG est une évidence !

Le théorème du rang n'implique pas réellement rg(g) <= dim G (évidence) , mais plutôt rg(g) <= dim ... ?

[leon1789]

En l'appliquant j'ai:
rg(gof) + dim(Ker(gof)) = dimG

c'est faux !

[Matthieu31]

Effectivement, pour l'application du théorème de rang à gof j'ai du m'endormir :dodo:

Bon ok ma stupidité corrigé, j'ai la moitié de la preuve de faite:

Th. du rang à gof:

rg(gof) - dim(E) = -dim(Ker(gof))

Or: dim(Ker(gof)) >= dim(Ker(f)) (car Ker(f) inclus dans Ker(gof))

d'ou: rg(gof) - dim(E) <= - dim(Ker(f))
Soit: rg(gof) <= - dim(Ker(f)) + dim(E)
cad: rg(gof) <= rg(f) (Th. du rang à f)

Je regarde pour l'autre inégalité !

[Matthieu31]

L'autre inégalité est évidente, pardon je m'en vais me cacher :zen:

Bonne soirée !

[abcd22]

Bonsoir,
Ce n'est pas la peine d'utiliser le théorème du rang pour ça, on a Im(g o f) = g(Im f), qui est forcément de dimension inférieure ou égale à rg(f) car une application linéaire préserve les relations de liaison.