par EGA-SGA » 01 Avr 2015, 08:50
BOnjour,
J'ai lu la discussion en diagonale, mais si Par C[V] tu désigne l'algèbre des fonctions polynomiales (ou des polynomes) de V dans C, et je pense que c'est ce que tu fais, alors c'est bien canoniquement isomorphe à l'algèbre symétrique sur le dual de V.
Tu as un pairing naturel de Sym^n(V^*)xV dans C, donné par (t_1,...,t_n,x) s'envoie sur t_1(x)...t_n(x) qui passe bien à l'algèbre symétrique. Ce pairing donne l'isomorphisme voulu.
Par définition en fait, ce truc est l'algèbre des polynomes sur V.
Si l'on choisit une base de V, qui donne un isomorphisme V=C^r alors Sym(V^*) est isomorphe à C[X_1,..., X_n] et l'evaluation est ce à quoi l'on pense, un vecteur quelconque v est assimilé à un n-uplet (x_1,...,x_n) et le pairing definit precedement est l'evaluation du polynome en le point (x_1,...,x_n).
Bref de manière plus terre à terre, ce sont les fonctions qui sont polynomiales en les coordonnées sur une base (n'importe laquelle puisque changer de base conjugue par un automorphisme linéaire, ce qui ne change pas le fait d'etre polynomial ou pas, ce qui est de toute façon assure par la construction intrinsèque du paragraphe précédent).