Aide détermination de fonction homographique

[Edvin]

Bonjour tout le monde, j'ai un petit problème avec la fin d'unun exo de mon DM, en fait, je bloque dessus depuis hier soir..

Existe-t-il une fonction homographique f définie par f(x) = (ax+b)/(cx+d) dont la représentation est une hyperbole H:
-> passant par le point A(-1;6)
-> admettant comme asymptotes les droites d'équation y=2 et x=1


J'ai essayé de faire un système en utilisant les coordonées de A, mais j'ai merdé.. Bref, à la fin il me restait toujours 4 inconnues.

Si vous pouvez m'aider, merchi!

[emdro]

Bonjour,

c'est quoi tes équations de départ?

[Edvin]

Bonjour,

c'est quoi tes équations de départ?

Y'en a pas, c'est une question indépendante. Ensuite il me demande: 'Si oui, étudiez la fonction f, puis construisez H.'
On nous demande pas de chercher la valeur de a,b,c et d, mais dans l'absurde, elle peut exister cette fonction.

[emdro]

Excuse moi, je veux dire, avant de résoudre le système, tu as des équations pour traduire l'énoncé. Quelles sont elles?

[emdro]

OK, je comprends, mais pour savoir si elle existe ou non, le mieux c'est de montrer qu'on peut (ou non) trouver a,b,c,d.
Pas d'accord?

Alors comment traduis-tu le fait qu'elle passe par A?

[Edvin]

OK, je comprends, mais pour savoir si elle existe ou non, le mieux c'est de montrer qu'on peut (ou non) trouver a,b,c,d.
Pas d'accord?

Alors comment traduis-tu le fait qu'elle passe par A?

T'inquiète, on est sur la même longueur d'onde..
Donc, si A appartient a H, alors f(-1) = 6 donc on remplace pour f(x) = (ax+b)/(cx+d) pour obtenir (-a+b)/(-c+d) = 6 et après j'ai brodé autours de ça pour finalement ne rien trouver.

[emdro]

Si tu vas trouver, il y en a pour 2 minutes.

Et les asymptotes, qu'est-ce que cela te donne comme relation?

[Edvin]

Si tu vas trouver, il y en a pour 2 minutes.

Et les asymptotes, qu'est-ce que cela te donne comme relation?

Bwarf, justement, j'arrive pas à traduire grand chose.. Enfin, sachant que H est une hyperbole, et que H admet une asympote verticale d'équation x=1, x=1 doit surement être la valeur interdite du domaine de la fonction f et donc que cx+d = 0

M'enfin, j'suis pas sur de ça.

[emdro]

Si c'est ça: mais pas cx+d=0, plutôt c*1+d=0.
Par l'absurde, si c*1+d n'était pas égal à 0, la fonction serait définie en 1, et H ne pourrait pas avoir d'asymptote verticale à cet endroit.

Et l'asymptote horizontale, ça te donne quoi?

[Edvin]

Si c'est ça: mais pas cx+d=0, plutôt c*1+d=0.
Par l'absurde, si c*1+d n'était pas égal à 0, la fonction serait définie en 1, et H ne pourrait pas avoir d'asymptote verticale à cet endroit.

Et l'asymptote horizontale, ça te donne quoi?

Ah ouais, p'tite gaffe de ma part, merci pour la correction!
Bah c'est là ou je n'en ai aucune idée.. Une asymptote horizontale d'équation y = 2 veut dire qu'aux limites du domaines de f, f(x) se rapproche de 2 mais sinon, je vois pas de mise en équation..

[emdro]

Tu as l'essentiel: cette asymptote vient de la limite en +infini (et -infini).

C'est combien la limite de (ax+b)/(cx+d) en + infini?

[Edvin]

Tu as l'essentiel: cette asymptote vient de la limite en +infini (et -infini).

C'est combien la limite de (ax+b)/(cx+d) en + infini?

Bah c'est 2, non?

[emdro]

Oui, if faudrait que ce soit 2, bien d'accord.
Mais en fonction de a,b,c,d peux-tu l'exprimer? (procédure habituelle: mise en facteur forcée du x en haut et en bas...)

[Edvin]

Oui, if faudrait que ce soit 2, bien d'accord.
Mais en fonction de a,b,c,d peux-tu l'exprimer? (procédure habituelle: mise en facteur forcée du x en haut et en bas...)

Désolais, là je vois plus du tout.. C'est sûrement évident, mais, la mise en facteur forcée de x je vois pas comment c'est possible..

Faut faire comme pour la forme canonique?

[emdro]

Non, je t'aide:
[x*(a+b/x)]/[x*(c+d/x)]=(a+b/x)/(c+d/x) (classique)

Or lim b/x=... et lim d/x=...
donc lim (ax+b)/(cx+d)=...

A toi de compléter...

[Edvin]

Non, je t'aide:
[x*(a+b/x)]/[x*(c+d/x)]=(a+b/x)/(c+d/x) (classique)

Or lim b/x=... et lim d/x=...
donc lim (ax+b)/(cx+d)=...

A toi de compléter...

Donc lim b/x = 0 et lim d/x = 0
donc euuuhhmmm, lim (a+b/x)/(c+d/x) = lim(a/b) = a/b?
Et donc hum.. a+b = 2?

J'suis pas du tout sûr de moi, j'ai jamais fait cela..

[emdro]

lim (a+b/x)/(c+d/x) = lim(a/b) = a/b?
Et donc hum.. a+b = 2?

C'est un archi classique,... en 1ère. Tu es en quelle classe au fait?

C'est a/c la limite (et non a/b).

et du coup, a/c=2.

[Edvin]

C'est un archi classique,... en 1ère. Tu es en quelle classe au fait?

C'est a/c la limite (et non a/b).

et du coup, a/c=2.

DESOLAIS, erreur de débile mental, j'ai du être distrait.. Et oui j'suis en première!
Merci pour l'aide, je devrai pouvoir résoudre ce satané système maintenant!

[emdro]

Attention, tu as trois équations pour quatre inconnues.
A priori, cela ne suffit pas.

Dans ce cas, il faut prendre l'une des inconnues (je te conseille c) comme paramètre (on considère qu'on le connait) et exprimer toutes les autres en fonction de c.
Dis-moi ce que tu obtiens.

[Edvin]

Attention, tu as trois équations pour quatre inconnues.
A priori, cela ne suffit pas.

Dans ce cas, il faut prendre l'une des inconnues (je te conseille c) comme paramètre (on considère qu'on le connait) et exprimer toutes les autres en fonction de c.
Dis-moi ce que tu obtiens.

J'obtiens b=-10c ; a=2c ; d=-c