Fonction quadratique et dérivée

par **illy** » 14 Fév 2007, 16:37

Bonjour,

ne connaissant pas les calculs de dérivée quand il y a des matrices j'ai besoin de votre aide cher internautes :

je cherche la derivée par rapport a x de : f(x)=tx A x (ou x est un vecteur de taille (k,1) tx : transposé de x et A une matrice carrée (k,k)

si quelqu'un peut m'orienter sur la solution sutout j'ai besoin des propriétés et théoreme qui me permettent de faire le calcul.

Merci pour le coup de main.

par **fahr451** » 14 Fév 2007, 16:39

bonjour

normalement on dérive par rapport à une variable réelle (ou complexe)

quand il y a plusieurs variables ou une variable vectorielle on parle de différentielle

sais tu ce que c'est ?

par **illy** » 14 Fév 2007, 16:42

je dois dire que je me suis tromper il s'agissait bien d'une differentielle dans l'ennoncé (df/dx) :marteau: mais je vois pas trop la difference entre dérivé et differentielle :marteau: merci d'eclairer ma lanterne :hein:

par **fahr451** » 14 Fév 2007, 16:47

la différentielle de f au point x ( x un élément de E , E un R ev)est par définition l 'application linéaire df(x) vérifiant ( si elle existe)

f(x+h) = f(x) +df(x) (h) +0(h)
lorsque E = R

df(x) est exactement ( à un isomorphisme près) f ' (x) la dérivée usuelle

donc ici

f( X) = tX A X

essaye d écrire pour H une matrice colonne

f(X+H) = f(X) + un truc linéaire par rapport à H + un truc négligeable par rapport à H

REM : il suffit de développer.

par **illy** » 14 Fév 2007, 16:53

:briques: je suis désolé j'ai rien compris :cry: tu peux m'expliquer un peu plus ? plzzzzzzzzzz

par **fahr451** » 14 Fév 2007, 17:03

la définition de différentielle tu la connais ou non ?

par **illy** » 14 Fév 2007, 17:07

euuuh non !

par **fahr451** » 14 Fév 2007, 17:16

alors je ne comprends pas comment tu pourrais calculer la differentielle de f si tu ignores cette notion

quel est ton niveau et quelle est de facon précise la question qu on te pose ?
quel chapitre de ton cours est ce?

par **illy** » 14 Fév 2007, 17:23

je suis en licence eco, c'est un chapitre de rappel avant de commencer l'économetrie .... sauf que je n'ai jamais fais avant de differentielle avec des vecteurs de variables :cry:

la question est
f(X)= tX A X (avec les details donné precedement)

calculez df(X)/dx

ça aurait été f(x)=ax² ça aurait été fastoch mais là j'avoue avec l'ecriture du vecteur que je suis perdu
:help:

par **fahr451** » 14 Fév 2007, 17:29

bien je dois dire que

df(x)/dx n 'est pas une notation que je connais dans ce cadre

elle est normalement réservé à la dérivée au sens habituel

tu connais les applications linéaires ? les normes ?

par **illy** » 14 Fév 2007, 17:42

oui les applications linéaires je m'en rappelle de la def etc etc mais le normes je vois moins...

par **fahr451** » 14 Fév 2007, 17:50

les dérivées partielles?

par **Epsilon** » 14 Fév 2007, 17:53

bonjour
si f=txAx donc f est un polynome en x1,x2,....xn
lle différentiel est donc le gradient
grad(f)= le vecteur cologne
df/dx1
df/dx2
.
.
.
df/dxn

par **illy** » 14 Fév 2007, 18:40

:id:

g reussi :)

en fait en jetant un coup d'oeil au Green je retrouve :)

si A est symetrique

df(x)/dx = 2 A x

si A est non symetrique :

df(x)/dx = (A+tA) X

merci a vous pour les coups de mains :))))

par **mathelot** » 14 Fév 2007, 21:50

l'application:

est bilinéaire.
La différentielle cherchée au point

est donc
l'application linéaire:

Pour prouver cela, il suffit de montrer que

est un

avec l'une des normes (elles ont toutes équivalentes)
zut...j'ai écrit une bêtise.

par **fahr451** » 14 Fév 2007, 21:52

la personne qui posait la question ne sait pas ce qu'est une norme

par **mathelot** » 14 Fév 2007, 22:11

euh, voilà, je rectifie:

la différentielle est donc:

par **fahr451** » 14 Fév 2007, 22:16

ça ne sert à rien de donner la réponse à quelqu 'un qui ne connait pas les normes et a fortiori les 0

par **mathelot** » 14 Fév 2007, 22:29

illy a écrit:si A est non symetrique :
df(x)/dx = (A+tA) X

Que veut dire cette formule ?

par **illy** » 16 Fév 2007, 11:01

en fait la fonction f est un scalaire au final...
je prend l'exemple suivant :
A=((1,2) ; (2,3)) (les couples étant les lignes de la matrice . A est donc une matrice carrée (2,2) qui est en plus symetrique.
soit x= (x1,x2)

la fonction f(x) se résume alors à :

f(x)=(x1)*(x1)+ 4 x1 x2 + 3 x2* x2

la differentielle par raport a x donne :

df(x)/dx1 = 2x1+4x2
df(x)/dx2= 4x1 + 6x2

en ecriture matricielle en retrouve
df(x)/dx= 2 A x

ça c'etait pour le cas ou a est symetrique

dans le cas ou a n'est pas symetrique on a df(x)/dx= (A+ tA) x
(A+tA) est la somme de A + la transposée de A

voilou ...je c'est que cela ne representent que des exemples et non la démonstration pour les rigouriste néanmoins comme je ne maitrise pas ni les normes etc je ne pourrai aller dans le detail d'une demo ...pour plus d'info fo voir le green "econometric analysys" et désolé pour le retard de reponse

Fonction quadratique et dérivée

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