Fonction quadratique et dérivée

[BQss]

en ecriture matricielle en retrouve
df(x)/dx= 2 A x

Cette formule est un abus de notation et est fausse.
x est un vecteur ici et on ne divise pas par un vecteur, meme s'il est elementaire et qu'il tend vers 0.

ce qui vaut 2Ax c'est df(x) c'est a dire la differentielle(a ne pas confondre avec le df de la differentielle totale utilisé par les physiciens, c'est a dire la variation infinitesimale de f):
on pourrait aussi ecrire:
au point x la differentielle est telle que:
df(x)(h)=2Ax(h)

ou alors si df designe la variation infinitesimale de f et non plus la differentielle(c'est a dire que df ne designe plus grad(f) mais grad(f).dx), on peut ecrire df=2Ax.dx avec 2Ax le vecteur colonne(le gradient au point x, ou encore la differentielle), la d'accord, mais surement pas diviser des deux cotés par dx et ecrire df/dx=2Ax, ou alors qu'on m'explique ce que donne la division par un vecteur...

donc quoi qu'il arrive df(x)/dx= 2 A x c'est faux, il faut ecrire df(x)= 2 A x, ca vient pas de ton cours ca rassure moi?

On peut aussi noter la differentielle au point x, f'(x), mais surement pas df/dx.


Mais si non df/dx c'est reservé a la dérivée, en dimension un cela cohincide avec la differentielle donc on peut ecrire df/dx=f'(x), mais en dimension superieur a 1 la dérivée n'existe pas(il n'y a que des dérivées partielles) et on ecrit pas df/dx ou dx designerait un vecteur....

[illy]

je dois dire que c posé comme ça dans l'ennoncé de mon exo ... d'ou le fait de l'avoir reporté ... je prends note de ta remarque merci :)

[BQss]

De rien.
Je suppose qu'on te demande de trouver l'extremum, c'est a dire que comme ta fonction est indefiniment differentiable, les points ou a la fois la differentielle s'annule ( df(x)=2Ax ) et ou la differentielle seconde est defini positive (ou - ).

Ici la differentielle seconde c'est 2A, donc si par exemple A est une matrice symetrique defini positive ta fonction est convexe(c'est a dire dans notre cas qu'en tout point la differentielle seconde est defini positive), tout point ou la differentielle s'annule est alors un minimum.

Il faut juste alors resoudre le systeme lineaire:
2Ax=0


dans le cas ou :
df(x)= (A+tA) x
il faut resoudre (A+tA) X=0

puis

la differentielle seconde vaut en tout point A+tA qui est egalement une matrice symetrique( la differentielle seconde quand elle existe et est continue est toujours symetrique en tout point, c'est le theoreme de cauchy schwartz...).

Ici en plus elle est constante.
Si A est donné de maniere explicite cela revient a nouveau juste a regarder si A+ tA est definie positive.