Soit
On pose
Comment montrer que si
Intégrale convergente
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Intégrale convergente
par SuperPoule » 20 Oct 2025, 20:16
Bonjour,
Soit
de classe 
sur 
, strictement décroissante et qui tend vers 
en 
.
On pose= \int_0^x f(t)dt -xf(x))
.
Comment montrer que si
est majorée alors dt)
converge ?
Soit
On pose
Comment montrer que si
Re: Intégrale convergente
par SuperPoule » 20 Oct 2025, 22:05
Je réponds à ma propre question :
On montre facilement que est croissante. Si on suppose en plus que est majorée alors  = L\in\R^+)
.
Pour
, on a alors :
-F(x) = \int_x^y f(t) dt - yf(y)+xf(x) \geq \int_x^y f(y) dt- yf(y)+xf(x))
, car est décroissante.
Donc :-F(x) \geq (y-xf)(y)- yf(y)+xf(x) = xf(x)-xf(y))
.
Dans l'inégalité ainsi obtenue :-F(x) \geq xf(x)-xf(y))
, en faisant tendre 
et en se rappelant que \underset{y\to+\infty}{\longrightarrow}0)
, on obtient :
 \geq xf(x) \geq 0)
reste à faire tendre
pour conclure que \to0)
et on en déduit facilement que l'intégrale converge.
Du coup, je me demande maintenant s'il n'y a pas une façon de faire qui soit plus épurée ?
On montre facilement que
Pour
Donc :
Dans l'inégalité ainsi obtenue :
reste à faire tendre
Du coup, je me demande maintenant s'il n'y a pas une façon de faire qui soit plus épurée ?
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