Integrale absolument convergente
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tilt77
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par tilt77 » 10 Mai 2010, 20:39
bonsoir
par quelle methode (la plus aproprié)peut on dire que
int(0 àpi/2)ln(1-sint)/sint dt est absolument convergente
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girdav
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par girdav » 10 Mai 2010, 21:01
Bonjour,
il n'y a pas vraiment de problème en
(on peut penser à multiplier puis diviser par
). Il reste à régler celui en
. On voit que la fonction à intégrer est négative. On peut utiliser une inégalité sur le logarithme pour montrer la convergence en
.
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tilt77
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par tilt77 » 10 Mai 2010, 21:09
bonsoir
je ne comprend pas tres bien en fait la demarche à faire dans ces cas la
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tilt77
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par tilt77 » 11 Mai 2010, 10:38
ln(1-sint)/sint n'est pas defini en pi/2 comment peut on dire que cette expression est integrable en pi/2
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girdav
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par girdav » 11 Mai 2010, 11:08
Ça, c'est le concept des intégrales généralisées. Par exemple,
est convergente bien que la fonction à intégrer ne soit pas définie en
.
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tilt77
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par tilt77 » 11 Mai 2010, 11:16
d'accord merci j'ai d'ailleur revu le cours sur cette partie
mais donc il faut la comparer a une autre integrale qui converge si je comprend bien
la deuxieme est definie en pi/2 donc converge? :help:
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tilt77
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par tilt77 » 11 Mai 2010, 13:26
je ne trouve pas d'inégalité pour le prouver
quelqun aurait il une piste
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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 11 Mai 2010, 13:56
une idée : pour voir ce qui se passe en pi/2 et à quelle fonction c'est équivalent, on peut poser u=pi/2-t et faire un développement limité de ln (1-cos u)/cosu en zéro, on trouve (2 log(u)-log(2))+u^2 (log(u)-1/12-(log(2))/2)+...
ce qui donne envie de majorer par 2ln (pi/2-t) et effectivement, si on étudie la fonction ln (pi/2-x) - ln (1-sin x)/sinx on voit qu'elle est toujours positive entre 0 et pi/2 et donc
ln (1-sin x)/sinx < ln (pi/2-x)
et comme l'intégrale est calculable et converge
c'est gagné
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tilt77
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par tilt77 » 11 Mai 2010, 13:59
merci pour l'aide
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