Just for fun : Intégrale convergente
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Nightmare
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par Nightmare » 14 Aoû 2006, 20:59
Bonsoir
Voici un exercice sympathique pour ceux qui s'ennuient :
Soient a et b deux réels quelconques.
Démontrez que l'intégrale impropre suivante est convergente et calculez sa limite :
Bon courage
:happy3:
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tize
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par tize » 14 Aoû 2006, 21:04
Le fonction est prolongeable par continuité en 0 et
est intégrable sur
(classique avec une IPP). Après changement de variable, c'est la même chose que :
En remplacant sin(x) par sa serie entiere on trouve
et donc :
Sauf erreur de ma part
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Nightmare
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par Nightmare » 14 Aoû 2006, 21:14
Salut tize.
Oui c'est une solution, mais maintenant supposons que l'on ne connait pas la valeur de
Il y a une méthode qui permet de ne pas avoir à calculer cette dernière intégrale.
:happy3:
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alben
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par alben » 14 Aoû 2006, 21:15
Bonsoir,
Moi je dis zéro
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tize
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par tize » 14 Aoû 2006, 21:16
En remplacant sin(x) par sa serie entiere on trouve
et donc :
Sauf erreur de ma part
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nekros
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par nekros » 14 Aoû 2006, 21:19
Bonjour Nightmare,
On note
Un développement limité en 0 donne :
On peut donc prolonger f en 0 en posant
Par linéarité de l'intégrale, on a :
Or,
qui converge lorsque c tend vers l'infini.
Conclusion : l'intégrale converge
Je cherche la limite...
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tize
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par tize » 14 Aoû 2006, 21:19
Nightmare a écrit:Salut tize.
Oui c'est une solution, mais maintenant supposons que l'on ne connait pas la valeur de
Il y a une méthode qui permet de ne pas avoir à calculer cette dernière intégrale.
:happy3:
même avec b=1 et a=0 ?
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Nightmare
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par Nightmare » 14 Aoû 2006, 21:26
Un indice : Utiliser le théorème de fubini
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Nightmare
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par Nightmare » 14 Aoû 2006, 21:27
Hum attendez je vérifie je crois que j'ai fait une belle erreur dans mes calculs :briques:
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Nightmare
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par Nightmare » 14 Aoû 2006, 21:31
Arf oui j'ai fait une terrible erreur ...
En fait j'avais écrit que :
Par conséquent notre intégrale est égale à :
Soit par le théorème de Fubini :
Seulement
n'existe pas ...
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nekros
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par nekros » 14 Aoû 2006, 21:34
On peut retrouver ce résultat en calculant l'intégrale double :
avec
dans
Cependant, c'est assez long.
Thomas G :zen:
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alben
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par alben » 14 Aoû 2006, 23:01
On démontre assez facilement que sin(x)/x est intégrable de 0 à l'infini
donc
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nekros
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par nekros » 14 Aoû 2006, 23:05
Bonjour Alben,
Tu as posé u=ax et u=bx :hein:
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alben
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par alben » 14 Aoû 2006, 23:12
Oui, j'aurai pu utiliser u et v, ça ne changeait rien
NB j'ai corrigé une petite erreur sur le 2ième intégrale du à la place de dx
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Nightmare
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par Nightmare » 14 Aoû 2006, 23:27
Comment calcules tu
avec cette méthode ?
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nekros
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par nekros » 14 Aoû 2006, 23:33
Tiens ça me rappelle quelque chose cette intégrale :lol4:
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alben
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par alben » 14 Aoû 2006, 23:50
nekros a écrit:alben > la deuxième égalité est fausse, ça revient à dire que ax=bx
.
Je ne comprends pas ta remarque. Je peux reformuler ainsi
Les deux variables u et v sont des variables muettes, elles n'interviennenbt pas dans le résultat final qui est identique dans les deux cas.
Nightmare, c'est un piège car l'exponentielle intégrale a un problème au voisinage de zéro.
En choisissant un h petit et et supposant a et b tous deux positifs, je dois pouvoir trouver quelque chose
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nekros
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par nekros » 14 Aoû 2006, 23:52
Mais comment expliques-tu le fait que tu ne trouves pas la même limite ?
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Nightmare
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par Nightmare » 14 Aoû 2006, 23:52
Eh oui Nekros :happy3:
Je me suis inspiré de cette intégrale justement pour la mienne !
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nekros
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par nekros » 14 Aoû 2006, 23:54
Nightmare a écrit:Eh oui Nekros :happy3:
Je me suis inspiré de cette intégrale justement pour la mienne !
Je m'en doutais :ptdr:
En tout cas, merci pour l'exo !
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