Petite question sur les réels

[Hannaut]

Super GaBuZoMeu, cela répond exactement à ma question !

J'avais vu dans un autre livre anglais que l'auteur démontre que la somme de deux réels + est +. Je vais essayer de retrouver ce cours et voir les axiomes et les différences.

hdci : d'accord, je vois que c'est tout un parcours. Je commencerai à étudier l'ensemble des entiers naturels et ainsi remonter jusqu'à Q (au moins). Pour R j'attendrai de voir plus en profondeur les suites (surtout de Cauchy).

Pour N, l'axiomatisation de Peano est plus simple que l'autre ? Disons que pour commencer à étudier, il est préférable de prendre quelle axiomatisation pour N ?

[azf]

Bonjour

Pour une étude sérieuse il te faudra voir la notion d'idéal d'un anneau et la définition de l'ensemble des nombres réels comme celle d'un certain anneau quotient

[Hannaut]

Bonjour azf,

On va attendre un peu pour ça pour l'instant

[hdci]

Je ne pense pas qu' l'une des deux méthodes Peano / Ordre soit plus ou moins facile.
On retrouve facilement Peano avec l'axiome de l'ordre : l'injection "successeur" se définit comme "l'image de n est le plus petit élément de l'ensemble des entiers strictement supérieurs à n" qui n'est pas vide puisque IN n'est pas majoré et on vérifie que l'image de IN est bien IN sauf 0 (par l'absurde).
Le principe de récurrence étant "Si A est une partie contenant 0 et contenant les successeurs de tous ses éléments, alors A=IN" se démontre facilement avec les axiomes de l'ordre après avoir défini l'injection "successeur" (par l'absurde). Du coup on obtient les axiomes de Peano.

Avec Peano, pour construire la relation d'ordre on est obligé de définir d'abord l'addition (par récurrence : n+0=n et n+suivant de p = suivant de (n+p), puis on dit que p<=q s'il existe n tel que p+n=q, on vérifie alors que c'est bien une relation d'ordre total (et même de bon ordre), puis que les parties non vides ont un plus petit élément et si majorée un plus grand. Du coup on obtient les axiomes de l'ordre.

Au passage, on démontre (par récurrence, donc après avoir démontré le principe de récurrence si on part des axiomes de l'ordre) que l'addition est commutative, associative et admet un élément neutre ; on définit ensuite la multiplication d'une façon similaire (par récurrence) et on montre également qu'elle est commutative, associative, que l'addition y est distributive. On fait tout cela dans IN et les prolongements dans Z et Q viennent tout seul.

La notion d'idéal d'un anneau ne me semble pas nécessaire en fait (en première approche car cela fait longtemps que je n'ai pas regardé cela dans le détail), ce qui est important c'est de montrer la stabilité des opérations projetées dans les ensembles quotients (c-à-dire, l'ensemble des classes d'équivalence).

[GaBuZoMeu]

@hdci : il ne faut pas confondre construction et axiomatisation.

L'approche axiomatique, c'est de poser un certain nombre d'axiomes (corps ordonné archimédien avec propriété de la borne supérieures) et de tout démontrer à partir de ces axiomes. On laisse alors de côté le problème de la construction de .

[hdci]

Exact, mais c'est pour cela que je parle de la "propriété de la borne supérieure" et non de l'axiome de la borne supérieure (sauf si j'ai fourché...).

Donc la réponse à la question de Hannaut "plusieurs axiomatisation ?" est "oui" : soit l'axiomatisation est au départ (sur IN) et IR n'est alors qu'une construction, soit avec l'axiomatisation "corps totalement ordonné etc." et on traite directement.
En fait dans tout mon parcourt je n'ai jamais vu que la première méthode qui construit brique à brique.

[Hannaut]

hdci : euh, pas vraiment vraiment quand je parlais de plusieurs axiomatisations.

Voilà le passage de Gab :

La notion de corps ordonné est bien claire, pas de problème. Et dans un corps ordonné la somme de deux éléments positifs est positive. C'est un axiome, ou ça se démontre directement à partir des axiomes (les axiomes peuvent différer, mais c'est toujours la même théorie).

Il a dit qu'on peut démontrer que la somme de deux + est + ou bien c'est un axiome.
J'ai vu que dans un livre que pour justifier ça, l'auteur propose comme démo : a >0 et b >0, donc a + b > 0 + 0 . Donc l'auteur a pris l'axiome a > b et c > d implique a + c > b + d.
Or dans d'autres livres "a > b et c > d implique a + c > b + d" n'est pas un axiome mais un théorème. Mais du coup, pour eux, la somme de deux positif est un positif devient un axiome.

J'ai l'impression qu'il n'y a pas le choix, c'est soit l'un, soit l'autre qui faut admettre, d'où les deux "axiomatisations" possibles.

[Hannaut]

Je ne sais pas si ma réflexion est bonne mais j'ai l'impression que pour régler l'utilisation du symbole de comparaison "<", on fournit un tas d'axiomes le concernant.
Puis la positivité est défini en disant que R+ = {x, x>0} (l'inégalité est large).
Il est alors facile de montrer sa stabilité par addition.

Une alternative est de définir le symbole de comparaison "<" en disant que a < b ssi b - a est positif. Mais du coup la positivité devient une notion (en admettant qu'un réel est soit positif, soit négatif) qui faut régler par des axiomes (positif + positif = ..., etc.).

Je ne sais pas si j'ai saisi un peu la chose.

[GaBuZoMeu]

@hdci : il y a plusieurs années, je faisais un cours d'analyse en DEUG sur une base axiomatique ( est un corps ordonné archimédien vérifiant la propriété des segments emboîtés) en faisant juste une évocation culturelle sur la construction d'un modèle de ces axiomes par les suites de Cauchy.

@Hannaut : tes questions tournent en fait autour de la théorie axiomatique des corps ordonnés. Il y a une seule théorie, mais plusieurs façons d'en choisir les axiomes. Une seule théorie, ça veut dire que les théorèmes sont les mêmes quel que soit le choix des axiomes de départ. Suivant ces choix, "la somme de deux positifs est positive" est soit un axiome de départ, soit un théorème.

[Hannaut]

Bien compris !