Exercice sur les Réels, Bornes Sup et Inf.

[SynaOne]

Bonjour, Bonsoir !

Je viens aujourd'hui sur ce forum car j'ai quelques problèmes sur un exercice, je suis en première année de prépa' intégrée, et pour les vacances notre professeur nous a proposé un exercice sur les bornes supérieure et inférieure, cependant nous avons abordés ce sujet que peu de temps avant les vacances, je n'ai donc pas tout compris.
Voici l'énoncé de l'exercice :
On désigne par A une partie non vide et bornée de ;). On pose : |A| = {|x|, x ;) A}.
1. Montrer que la partie de |A| admet une borne supérieure.
2. Montrer que Sup(A) ;) Sup(|A|).
3. Montrer que - Inf(A) ;) Sup(|A|).
4. Montrer pour finir que Sup(|A|) = Max{Sup(A); -Inf(A)}

Pour la question 1., je pense l'avoir réussi en ayant dit que par définition, on dit qu'une partie A de ;) est majorée lorsqu'il existe M ;) ;) tels que tous les éléments de A sont inférieurs ou égaux à M, d'après l'énoncé, A est une partie non vide et bornée de ;), elle est donc majorée. De plus, toute partie de ;) non vide et majorée admet une borne supérieure. Donc la partie A admet une borne supérieure.

Pour la question 2 je n'ai pas trop d'idée, peut être de cette façon :
Soit B l'ensemble des A et C l'ensemble des |A|,
On a B ;) C
Soit x ;) B, x ;) B ;) x ;) C ;) x ;) Sup(C)
;) x ;) B, x ;) Sup(C)
Sup(C) est un majorant de A,
Sup(B) = Le plus petit majorant de A donc Sup(B) ;) Sup(C)
Et donc on a montré que Sup(A) ;) Sup(|A|), mais cela m'étonnerait qu'on ait le droit de poser les ensembles B et C ainsi que leur inclusion comme cela (ce qui me pose problème c'est surtout de dire que les A sont inclus dans les |A|, mais si je mets le contraire, je prouverais aussi le contraire, ce qui n'est pas demandé)

Pour la question 3, de la même façon que la question 2 :
-Inf(A) est un majorant de (-A), -Inf(A) est le plus petit majorant de (-A),
Soit y ;) (-A), ;) x ;) A, y = -x,
x ;) A ;) x ;) Inf(A)
;) -x ;) -Inf(A)
;) y ;) -Inf(A)
Donc -Inf(A) est bien un majorant de (A).
Soit ;)>0, montrons que -Inf(A)-;) n'est pas un majorant de (-A),
Or Inf(A) est le plus grand minorant de A,
;) Inf(A)+;) n'est pas un minorant de A,
;) ;) x ;) A, x < Inf(A)+;)
Si je pose y=-x, j'ai : y ;) (-A) et y = -x > -Inf(A)-;).

-Inf(A)-;) n'est donc pas un majorant de (-A)
Ainsi, -Inf(A)=Sup(-A),
Ici, je pense qu'il faut dire que |A| ;) -A, ce qui permet de dire que Sup(-A) ;) Sup(|A|) et donc que -Inf(A) ;) Sup(|A|),

Pour la question 4, je ne sais pas trop, on a vu en cours :
"Soit A, B 2 parties non vides de ;),
1) Si A et B sont majorés, alors A;)B et A;)B sont majorés, de plus Sup(A;)B)=max{Sup(A); Sup(B)}
Si A;)B ;) ;), Sup(A;)B) ;) Min{Sup(A); Sup(B)}
2) Les résultats sont équivalents sur les Inf'"
Je pense qu'il faut utiliser la propriété 1; mais je ne vois pas trop comment l'appliquer.

Voilà, j'espère obtenir ici de l'aide pour m'aider à comprendre et résoudre cet exercice. Merci d'avance de votre aide

[arnaud32]

pour 1:
A borne signifie que pour tout x de A m<x<M qu'en conclure concernant |x|?

pour 2:
utilises le fait que

pour 3:
utilises le fait que

[SynaOne]

Bonjour et merci de ta réponse Arnaud32,
Pour la question 1:
A borne signifie que pour tout x de A m|x| = sqrt(x²)
Donc |A| admet la même borne supérieure que A, elle admet donc une borne supérieure.

Pour la question 2:
x ;) |x|, c'est vrai que vu comme ça, la propriété Sup(A) ;) Sup(|A|) parait évidente, car si à la base A est plus petit que |A|, la borne supérieure de A ne peut pas être supérieure à celle de |A|, mais je ne sais pas comment l'expliquer rigoureusement

Pour la question 3:
-x ;) |x|,
Si on reprend à partir de :
"-Inf(A)-;) n'est donc pas un majorant de (-A)
Ainsi, -Inf(A)=Sup(-A)"
On peut dire :
-x ;) |x|, donc Sup(-A) ;) Sup(|A|), donc -Inf(A) ;) Sup(|A|).

[arnaud32]

A est borne signifie quil existe m et M tels que pour tout x
tu poses K =Max(|m|,|M|)
donc

2:
pour tout x
donc

3:
pour tout x donc donc

pour 4 sert toi de 2 et 3

[SynaOne]

Merci pour cette réponse rapide,
Je pense avoir compris pour les questions 1, 2 et 3, merci beaucoup,
Seul petit problème, sur la question 3, pour tout x, -x |x| Sup(|A|) donc x -Sup(|A|) donc Inf(A) -Sup(|A|),
Si jamais je multiplie par "-1", j'obtiens -Inf(A) Sup(|A|) n'y aurait-il pas une erreur dans votre expression ? Ne serait-ce pas plutôt : "pour tout x, -x |x| Sup(|A|) donc x -Sup(|A|) donc Inf(A) ;) -Sup(|A|)" Ce qui permettrait d'arriver à la conclusion de l'énoncé.


Pour la question 4, "Sup(|A|) = Max{Sup(A); -Inf(A)}"
Dans la question 2, on a montré que "Sup(A) Sup(|A|)" et dans la question 3, on a montré que "-Inf(A) Sup(|A|)",
|x| = Max (x; -x)
Or x = Sup(A) et -x = -Inf(A)

On a donc : Sup(|A|) = Max{(Sup(A); -Inf(A)}

[arnaud32]

oui en effet pour la question 3 j'ai fait une faute de frappe sur le signe
de 2 et 3 tu ne peux que deduite que


m=inf(A)
M=sup(A)


donc

et inf(a,b)=-sup(-a,-b) donc ...

[SynaOne]

Et donc Sup(|A|) = Max{Sup(A);-Inf(A)} si j'ai bien compris
Merci beaucoup de ton aide Arnaud.