Continuité à droite

[lyceen95]

@Lycéen

Un extrait de mon livre. Ça change tout le temps de définition, c'est incompréhensible :

La fonction est continue à droite en si

Puis :

La limite à droite de en est la limite de en lorsque cette dernière est définie.

Où est le problème ? On parle de continuité à droite dans la 1ère définition, et de limite à droite dans la 2ème.
Ce sont 2 concepts proches, mais différents, et donc c'est normal d'avoir 2 définitions différentes.

[mehdi-128]

Ok lycéen.

Par contre comment utiliser directement la définition de mon livre pour montrer que n'est pas continue à gauche en ?

Soit
Il faut montrer que n'est pas continue. Posons
D'après le cours : continue au voisinage de implique continue en a.
Or

[Tuvasbien]

Vraiment je ne comprends pas pourquoi tu te perds avec autant de formalisme alors que la réponse est sous tes yeux, à la vue du graphe on comprend immédiatement que la partie entière n'est pas continue en tous les entiers puisque là où par exemple on a pour tout qui est un voisinage à gauche de donc donc n'est pas continue à gauche en 2 !

[mehdi-128]

Vraiment je ne comprends pas pourquoi tu te perds avec autant de formalisme alors que la réponse est sous tes yeux, à la vue du graphe on comprend immédiatement que la partie entière n'est pas continue en tous les entiers puisque là où par exemple on a pour tout qui est un voisinage à gauche de donc donc n'est pas continue à gauche en 2 !

Mais je ne comprends pas d'après mon cours ils parlent de la restriction donc un voisinage à gauche de 2 est ou .

Pourquoi vous ouvrez l'intervalle en 2 ? J'ai même cherché sur internet, un voisinage à gauche de c'est donc bien fermé en .

[mehdi-128]

Vous utilisez peut être la notion de voisinage épointé mais elle n'a pas encore été abordée à ce stade du livre donc comment faire sans cette notion en prenant simplement l'intervalle ]1,2] par exemple ?

[Tuvasbien]

La définition de est la limite en de est :

La définition de est continue en à gauche est :

ce qui est équivalent à (ce n'est pas le cas pour la limite, il est possible que pour un certain ). On peut encore le réécrire .

[Tuvasbien]

Si on prenait dans la définition de la limite l'intervalle alors dans ce cas l'égalité serait fausse, la limite n'existerait même pas !

[mehdi-128]

Ok pour les définitions. A ce stade de l'exemple les limites à gauche et à droite ne sont pas encore définies. Elles le sont 2 pages à la suite.

Si on note comment montrer que n'est pas continue en ? Ça montrerait d'après le cours que n'est pas continue en .

Quand on se place au voisinage à gauche de qui est pourquoi n'existe pas ?

[Tuvasbien]

Elle existe (je dis juste que si on remplaçait l’intervalle ouvert par un intervalle fermé dans la définition ça marcherait pas c’est pourquoi on prend un intervalle ouvert), sur [1,2[, f est constante et sa valeur est différente de f(2) donc la limite en 2^- de f est différente de f(2) donc f est pas continue à gauche en 2

[mehdi-128]

Oui je vois mais vous utilisez la notion de limite à gauche alors qu'elle est définie après. Ça suppose qu'on peut résoudre l'exercice en utilisant seulement les 2 résultats suivants :

est continue en si et seulement si la restriction est continue en .
La fonction est continue à gauche en si est continue en .

Par restriction est continue à gauche en si et seulement si est continue en .

Comment montrer que : n'est pas continue en sans utiliser la notion de limite à gauche ?

[Tuvasbien]

Il va falloir qu’on m’explique comment on définit la notion de continuité sans avoir defini la notion de limite, d’autant plus que ton livre n’est pas la bible, si on te pose cette question à un oral on attendra une réponse simple, c’est quoi tes « r » dans tes propositions ? D’ailleurs comment on montre qu’une fonction est pas continue en un point ?

[mehdi-128]

Il va falloir qu’on m’explique comment on définit la notion de continuité sans avoir defini la notion de limite, d’autant plus que ton livre n’est pas la bible, si on te pose cette question à un oral on attendra une réponse simple, c’est quoi tes « r » dans tes propositions ? D’ailleurs comment on montre qu’une fonction est pas continue en un point ?

La notion de limite a été définie mais pas celle de limite à gauche et à droite. Donc ici il faut travailler avec la restriction est montrer que n'est pas continue.

Pour montrer qu'une fonction n'est pas continue en 1 point mon livre donne une méthode : il suffit d'exhiber une suite convergeant vers et telle que ne converge pas vers
Je ne connais pas d'autre méthode...

Par exemple, ici posons et

Car

[Tuvasbien]

Les notions de limite, limite à gauche et limite à droite sont analogues comme les notions de continuité, continuité à gauche et continuité à droite, ce qui change c'est juste le voisinage sur lequel on se place. Concernant la suite, ça montre que n'est pas continue en mais aussi que n'est pas continue en à gauche puisque . C'est quand même idiot de la part du livre de proposer un exercice sur une notion pas encore définie... La définition avec la restriction est la même qu'avec les quantificateurs alors pourquoi les différenciées ? D'autant plus que la définition avec les quantificateurs est la plus utilisée de loin.

[mehdi-128]

Oui par ailleurs j'ai du mal à manipuler les restrictions. J'y verrai peut être plus clair dans la suite en traitant des exercices concrets de limites à gauche et à droite.

Merci.

[Tuvasbien]

J'en suis sûr.

[mehdi-128]

J'ai fait le même travail pour la partie entière par excès.

Elle est continue à gauche sur . Il suffit de prendre et de considérer
Elle est continue à droite sur . Il suffit de prendre et de considérer
Elle n'est pas continue en il suffit de considérer et la suite . On a