Continuité à droite

[mehdi-128]

Bonsoir,

Supposons que soit un point intérieur à intervalle de et soit .

La fonction est continue à droite en si est continue en .

Je ne comprends pas comment on trouve le résultat suivant : (il s'agit de la partie entière par défaut)

La fonction est continue à droite en tout point de mais elle n'est continue à gauche qu'aux points de

[Tuvasbien]

La continuité repose sur l'étude de la fonction au voisinage du point en question, dans l'exemple où , la continuité à droite de en n'a aucun sens puisque n'est pas défini dans un voisinage à droite de tout comme la continuité à gauche en n'a aucun sens. Il suffit de prendre dans l'intérieur de l'intervalle même si ici fonctionne aussi en ce qui concerne la limite à droite. Concernant la partie entière, il serait judicieux de tracer son graphe.

[mehdi-128]

D'accord merci. Oui j'ai tracé le graphique mais je ne comprends pas comment appliquer la définition pour la partir entière.

[mehdi-128]

Si je pose et

Je n'arrive pas à montrer que est continue en .

[Tuvasbien]

Il faut montrer que , il suffit de se placer dans un voisinage judicieux de à droite.

[mehdi-128]

Mais d'après la définition, la fonction doit être continue en sur le voisinage à droite .

Du coup je n'ai pas compris pourquoi vous dites qu'on doit choisir ce voisinage à droite de manière judicieuse ?

[Tuvasbien]

Non ce n'est pas ça, relis ta définition, et "continue en sur le voisinage " ça n'a pas de sens !

[mehdi-128]

Juste avant dans le cours j'ai vu qu'une fonction est continue en si et seulement si est continue en , avec .

C'est la restriction qui me gêne : est continue en .

Je ne sais plus quelle définition du cours utiliser dans l'exemple de la partie entière pour montrer que est continue en .

[Tuvasbien]

Il faut en effet montrer que est continue en (et pas continue sur tout entier). Regarde le graphe de la fonction partie entière, sur un voisinage assez proche de à droite, quelle(s) valeur(s) prend ?

[mehdi-128]

J'ai fait un dessin pour la continuité à droite il suffit donc d'avoir L'intervalle est un voisinage à droite de et : . D'où le résultat d'après le cours. Pour montrer que est continue à gauche aux point de on prend L'intervalle est un voisinage à gauche de .

Dernier point : comment montrer que n'est pas continue à gauche aux points de , il suffit de prendre et . Les suites et ne tendent pas vers la même limite.

Par contre j'ai du mal à en déduire le résultat similaire pour la partie entière par excès :

La fonction partie entière par excès est continue à gauche en tout point de mais elle n'est continue à droite qu'aux points de

Je sais que mais je n'arrive pas à l'utiliser

[Kolis]

Si tu prends deux suites, l'une inférieure à , l'autre supérieure à tu ne démontres rien concernant la continuité à gauche.

Pour quelle est la limite à gauche en (fais un dessin) ?

[mehdi-128]

D'accord, pour . A un voisinage à gauche, on est sur un intervalle donc on a soit soit

On a le droit de prendre l'intervalle ouvert pour un voisinage à gauche ? Si c'est le cas ça règle le problème car on a

Dans mon cours parfois ils prennent des intervalles ouverts parfois des fermés.

[Kolis]

Que tu prennes intervalle ouvert ou fermé, il n'y a pas continuité à gauche.

Avec les voisinages épointés la limite est : pas de continuité !
Avec la définition bizarre actuelle, il n'y a pas de limite : dans tout voisinage contenant tu ne peux avoir simultanément.

[lyceen95]

La continuité à droite :
Pour savoir si une fonction est continue à droite en a, on prend des nombres de la forme a+h, avec h, positif, de plus en plus petit. Et on regarde la limite de f(a+h) quand h tend vers 0, avec h positif.
Si cette limite existe, et si elle coïncide avec f(a), alors f est continue à droite. Et idem à gauche, en changeant les signes.

Ca peut se reformuler comme ça :
La fonction est continue à droite en si est continue en .

Mais ça peut aussi se reformuler comme ça :
La fonction est continue à droite en si est continue en .

[vam]

Dans mon cours parfois ils prennent des intervalles ouverts parfois des fermés.

d'où la question ailleurs, comme d'habitude !
https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/858602-voisinage-ouvert.html
tu es banni de l'île des maths pour avoir fait ça sans cesse....

[mehdi-128]

@Lycéen

Un extrait de mon livre. Ça change tout le temps de définition, c'est incompréhensible :

La fonction est continue à droite en si

Puis :

La limite à droite de en est la limite de en lorsque cette dernière est définie.

[mehdi-128]

Que tu prennes intervalle ouvert ou fermé, il n'y a pas continuité à gauche.

Avec les voisinages épointés la limite est : pas de continuité !
Avec la définition bizarre actuelle, il n'y a pas de limite : dans tout voisinage contenant tu ne peux avoir simultanément.

Où est la contradiction d'avoir en même temps simultanément ?

[mehdi-128]

Il faut juste dire que par l'absurde si elle était continue en à gauche, on aurait :

et

Ce qui donnerait soit ce qui est absurde ?

[Kolis]

Où est la contradiction d'avoir en même temps simultanément ?

Bon j'ai oublié
Tu aurais vu tout de suite en faisant un dessin !

[mehdi-128]

En prenant

Ca donne et

Soit et

Où est la contradiction