Continuité par morceaux => Continuité ??

[Anonyme]

Bonjour,

J'aimerais savoir si : la continuité par moceaux sur un intervalle I => la continuité sur I .




Merci :)

[becirj]

Bonjour
Cela dépend si les morceaux ont une intersection vide ou non.
Par exemple la fonction partie entière est continue par morceaux mais n'est pas continue.

[quinto]

Bonjour,

J'aimerais savoir si : la continuité par moceaux sur un intervalle I => la continuité sur I .

Si c'etait le cas, la continuité et la continuité par morceaux seraient la même chose

[Wutang]

J'aimerais savoir si : la continuité par morceaux sur un intervalle I => la continuité sur I .

Cela depend simplement de la nature de tes intervalles.
Il suffit qu'un intervalle laisse un point de discontinuite pour etablir la discussion et l'etude.
Par exemple I se decompose en n intervalles fermes (n et a, entiers naturels finis tels que a<n ) du type I1, I2,...,In mais avec I(a-1) etablissant un point de discontinuite avec Ia.
I(a-1)=[r,p[ et Ia=]p,q]
L'etude doit porter sur le comportement de la continuite en p, p- et p+
S'il y a point de discontinuite en p, on peut retablir la continuite par un prolongement de continuite en p.

Toute la question, a ce niveau, porte essentiellement sur ce qu'est, a votre niveau, la continuite.
Plus on progresse, plus la question devient difficile, voire ambigue.
:jap:

[Anonyme]

[quote="Wutang"]Cela depend simplement de la nature de tes intervalles.
Il suffit qu'un intervalle laisse un point de discontinuite pour etablir la discussion et l'etude.
Par exemple I se decompose en n intervalles fermes (n et a, entiers naturels finis tels que a" mais plutôt "".


Ensuite je ne pense pas qu'il y ait des points discontinues, puisque cette notion est utilisé dans le cadre du cours sur les séries et intégrales impropres.



En tout cas merci à tous de m'avoir répondu

[Zebulon]

Et pour répondre à quinto si j'avais voulu dire que continuité par morceaux est la même chose que la continuité je n'aurai pas mis "=>" mais plutôt "".

Bonjour,
Quinto a raison car continuité=>continuité par morceaux (je ne l'écris pas proprement mais vous avez bien compris qu'ici un morceau est n'importe quelle partie de l'intervalle où la fonction est continue). Donc si on avait eu continuité par morceaux => continuité, on aurait bien continuité par morceaux continuité.
A bientôt,
Zeb.

[Zebulon]

Cela depend simplement de la nature de tes intervalles.
Il suffit qu'un intervalle laisse un point de discontinuite pour etablir la discussion et l'etude.
Par exemple I se decompose en n intervalles fermes (n et a, entiers naturels finis tels que a<n ) du type I1, I2,...,In mais avec I(a-1) etablissant un point de discontinuite avec Ia.
I(a-1)=[r,p[ et Ia=]p,q]
L'etude doit porter sur le comportement de la continuite en p, p- et p+
S'il y a point de discontinuite en p, on peut retablir la continuite par un prolongement de continuite en p.

Bonjour,
je ne suis pas d'accord avec la partie en gras. En effet, ceci n'est vrai que si les limites en p- et en p+ sont égales. Sinon, on ne peut rien faire malheureusement... (la fonction est continue par morceaux, pas continue en p, et n'admet pas non plus de prolongement par continuité en p).
Zeb.

[quinto]

Et pour répondre à quinto si j'avais voulu dire que continuité par morceaux est la même chose que la continuité je n'aurai pas mis "=>" mais plutôt "".

Mouais...
A ton avis pourquoi le nom de continuité par morceaux ?

[Wutang]

Bonjour,
Ceci n'est vrai que si les limites en p- et en p+ sont égales. Sinon, on ne peut rien faire malheureusement...

Evident, cela tombe sous le bon sens ! Cela se passe de commentaire.
Ce que je souhaitais savoir sur le niveau de stricker est resolu. Maths Spe, c'est bon pour remettre en question une definition aux limites :++:
L'idee meme de continuite vient de cette intuition d'equivalence suffisamment proche. Ce me semble, nous devons veritablement voir et comprendre comment, de ce qui "se ressemble" en topologie, nous en venons au "voisinage".
Je pose donc une question qui n'est peut-etre pas aussi evidente : la notion de continuite n'est-elle pas intuitive en topologie ?
Voici la definition classique d'une fonction continue en p :
Quelque soit V' voisinage de f(p), il existe au moins V voisinage de p tel que : f(V) inclus dans V'
Pardonnez ce rappel trivial, mais c'est pour donner un champ de comprehension sur une meme base.

A ton avis pourquoi le nom de continuité par morceaux ?

Certainement beaucoup plus passionnant daller voir ce qui se passe au voisinage meme de la coniuite, et quelles sont les resistances qu'on va rencontrer. En trouvant des failles de continuite, on peut, a rebours, remettre en cause un peu cette continuite meme sur laquelle on avait toute certitude.
Avis tres personnel, evidemment.
:jap:

[sept-épées]

Des bêtises ont été dites, faute d'une définition correcte : bien sûr, la continuité par morceaux est une propriété plus faible que la continuité tout court, et ceci quels que soient les "morceaux"...

f : [a, b]-> E est continue par morceaux s'il existe une subdivision a0=a
Si l'on veut généraliser cette notion à une fonction qui part d'un espace topologique E (je n'en connais pas d'utilité, mais pourquoi pas), il faudrait dire par exemple:

f est continue par morceaux sur E s'il existe des ouverts U1, ..., Un de E dont les adhérences recouvrent E, sur lesquels f soit continue, et tels que les restrictions de f aux adhérences des Ui admettent en tout point une limite.

[Zebulon]

Certainement beaucoup plus passionnant daller voir ce qui se passe au voisinage meme de la coniuite, et quelles sont les resistances qu'on va rencontrer. En trouvant des failles de continuite, on peut, a rebours, remettre en cause un peu cette continuite meme sur laquelle on avait toute certitude.
Avis tres personnel, evidemment.
:jap:

Pouvez-vous expliquer cette phrase s'il vous plaît? Je vous paraît peut-être ignorante mais je n'y comprends vraiment rien! (peut-être aussi en partie parce que la première partie de la première phrase manque d'un verbe...!)
Merci,
à bientôt,
Zeb.

[Wutang]

Des bêtises ont été dites, faute d'une définition correcte.

Mais, cher sept-épées, comment ne pas etre assez sage de "betises" quand, justement, la definition ne semble jamais correcte ?
L'histoire des mathematiques est liee aux reticences des mathematiciens, chaque fois qu'il a fallu introduire une notion s'eloignant de l'intuition geometrique.
Et nous sommes, en topologie, dans l'intuition meme.

C'est vrai, si nous consultons simplement Wikipedia, il nous est rappele qu'une courbe est continue si on peut la tracer d'un seul trait de crayon, sans lever la main.

Et apres ?

Nous connaissons la definition un peu plus developpee ici par exemple.
Mais cette definition classique se heurte aux limites. Genant, non ?

De meme avec des pointilles qu'avec des continuites par morceaux, cela ne change rien au probleme : qu'est-ce que le continu ?
En quoi et comment faire la difference, par exemple, avec le contigu ? Continuite, contiguite, pour mon humble part, je joue un joker.

La verite, c'est que tout est affaire de rigueur. Encore faut-il que le discours ne soit pas simpliste.
Quand tu ecris : "les restrictions de f aux adhérences des Ui admettent en tout point une limite.", pour ma part, je reste devant ce probleme de la... limite au continu.

En somme, si quelqu'un pouvait eclairer ma lanterne sur cette notion de voisinage dans la continuite ?
Merci,
:jap:

[Wutang]

Pouvez-vous expliquer cette phrase s'il vous plaît ?

Chere Zebulon,
L'ignorant, c'est certainement moi, aussi ai-je trouve du bonheur en decouvrant ce merveilleux site !! Il y a bien longtemps que je me suis endormi dans mon metier d'informaticien, et en re-ouvrant d'anciens livres des editions MIR :++: , et mon vieux dictionnaire des mathematiques Warusfel de... 1969, j'ai vu l'urgence de revenir a mes premiers amours : les mathematiques.

Comme nos posts viennent de se croiser tandis que je developpe sur cette notion intuitive de continuite, et la pertinence de la contiguite, je reponds donc a part, les Moderateurs et Administrateurs du site ne m'en voudront pas, j'espere, par un double post.

Il ne manque pas de verbe, il est elide...
Au passage, puisque j'en suis a me justifier, j'ecris sans accent, parce que je suis sur un clavier chinois taiwanais. Donc un Qwerty, et non un Azerty. Simplement pour avoir cette double culture franco-taiwanaise. Je suis sous un Linux taiwanais, et c'est tres bien.

--> Pour en revenir a la phrase, n'est-il pas plus interessant d'aller au VOISINAGE, dans la notion meme de continuite en topologie, que de s'arreter facilement aux points de discontinuite ? Le sujet de stricker est tres interessant ! De la continuite par morceaux a la continuite. Simplement, pourquoi ne pas etre pertinent et aller chercher, non dans la discontinuite, mais dans la notion meme de continuite, ou nous mene la continuite :++:

Dans la recherche que nous faisons d'etre strict sur une definition qui satisfasse cette notion tres intuitive de continuite, que nous avons en nous, on pourrait passer de la notion de continuite par morceaux, a celle de contiguite, et de la, a la precision de la continuite. Non ?
Sincerement,
:jap:

[Zebulon]

En fait, je crois que c'est l'expression "voisinage dans la continuité" que je ne comprends pas. Je sais ce qu'est la continuité d'une application entre deux espace topologiques, ce qu'est un voisinage d'un point, mais voisinage dans la continuité... :hein: ...'comprends pas!
Zeb.

[Wutang]

D'accord.
Il ne faut pas prendre tout mot comme un mot mathematique.
Ici, il n'est pas question d'un voisinage de continuite (??), mais de cette notion intuitive de s'approcher au plus pres de la continuite.
Je pense ici a un texte de Cauchy de 1821 dans son Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique :

Et de le citer rapidement :
Lorsque les valeurs successives attribuees a une meme variable, s'approchent indefiniment d'une valeur fixe, e maniere a finir par en differer aussi peu que l'on voudra, cette derniere est appelee la limite de toutes les autres.

On voit bien l'evolution des mentalites. De la notion elementaire d'un trace de courbe sans lever le crayon, qui induit une rupture franche et qu'on aura facile de declarer etre cela la discontinuite... on en vient a plus de rigueur. :++:
"Aussi peu que l'on voudra"... Magnifique ! Au lieu de parler de rupture brusque, il nous emmene dans l'infiniment petit ; a chacun ses capacites : "que l'on voudra".

C'etait simplement ca que j'ai mal exprime, n'y cherchant pas des mots justes, mais une indication possible de perception et de recherche.
:jap:

[Alpha]

Je viens de lire rapidement ce qui a été dit, et je voulais juste dire que la seule vraie définition de la continuité est la définition rigoureuse avec epsilon, et qu'elle ne fait que traduire dans un cadre mathématique une notion assez intuitive, mais qui ne saurait être vraiment complète sans le formalisme mathématique.

Alpha+

[yos]

Pas du tout d'accord avec alpha. La définition avec epsilon est pour les espaces métriques. En topologie générale, une fonction est continue ssi l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert (c'est la définition). C'est bien plus simple, général et utile que la définition avec epsilon.

[quinto]

Pas du tout d'accord avec alpha. La définition avec epsilon est pour les espaces métriques. En topologie générale, une fonction est continue ssi l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert (c'est la définition). C'est bien plus simple, général et utile que la définition avec epsilon.

D'autant plus que ca n'aurait aucun sens, parce que epsilon ne représenterai rien, et il faudrait que epsilon soit un genre de "mesure" de l'espace, que l'on a plus si on est plus dans un espace métrisable.
A+

[Fract83]

Hello,

Pour le coup, c'est moi qui ne suis pas d'accord avec toi, yos.

> "En topologie générale, une fonction est continue ssi l'image réciproque d'un ouvert est un ouvert (c'est la définition)."

Pas entierement vrai : ce n'est pas _LA_ definition. C'est une definition parmi d'autres... Et d'ailleurs, en tant que definition, je dirais que celle avec les voisinages (cf. Wutang) est beaucoup plus utilisee que la tienne, qui est generalement plutot vue comme une proposition.

Bonne journee.

[quinto]

C'est sensiblement la même chose, parce qu'un voisinage de x est un ensemble qui contient un ouvert qui contient x.