Continuité faible et continuité

[melreg]

Bonjour,

Dans un de mes anciens post, on m'a répondu qu'une fonction continue d'un espace de Banach E dans était faiblement continue. Mais je ne comprends pas poruquoi...
En effet, la topologie faible est la topologie la moins fine qui rend continues toutes les fonctions . Ainsi, une fonction g linéaire continue de E dans \mathbb{R} est aussi faiblement continue. Mais si g n'est pas linéaire, est-ce qu'on peut toujours affirmer que g est faiblement continue?

Merci d'avance

PS: mon problème au départ est le suivant:dans un livre, il est écris sans plus de précision: f continue convexe f semi-continue inférieurement. Je ne comprends pas pourquoi...

[R.C.]

Bonjour,

On t'aurait mentit ?? Une fonction fortement continue d'un Banach dans R n'est pas forcément faiblement continue : prend la norme de ce Banach, qui est fortement continue, mais pas faiblement car la boule unité ne contient pas d'ouvert non vide...
Par contre pour ton PS, une fonction fortement (resp. faiblement) continue est fortement (resp. faiblement) semi-continue inférieurement : ici tu change les ouverts de R (tu en prends moins) et pas du Banach. La convexité, je dirais que c'est plus pour le sens réciproque de l 'implication que tu as mise.

[melreg]

En fait, il n'est pas sensé y avoir de réciproque (peut-être qu'elle est vérifiée ou non). En fait, dans mon cas, la fonction est donnée, il s'agit de :

(où est un ouvert convexe de et W l'espace de Sobolev, )
où f est une fonction disons dans

J'ai vérifié que J est continue, qu'elle est convexe et après j'ai cette fameuse assertion... tu vois d'ou ça sort?

Merci d'avance

PS: J'accepte l'implication f continue f semi-continue inférieurement. Peut-être avons-nous f semi-continue inférieurement f faiblement semi-continue inférieurement ? Mais là, j'ai de la peine à voir...

[ShakkaChan]

en faite l'implication qui utilise c'est plutot convexité + semi continuité forte ====> semi continuité faible
je crois qu'on utilise le lemme de mazur

je crois que c'est quelque chose comme ca

ce qui permet au lieu d'utilisé le theoreme : existence d'un minimum si semi conitinuité faible et coercivité
on utilise "existence d'un minium si convexité, coercivité et semi continuité forte" ( donc continuité marche aussi)
car j'imagine que le but c'est de montrer l'existence de la solution d'une EDP qui est la derivé de la fonctionnelle que tu a ecrite.

si tu veux des detailles
regarde ici

[melreg]

C'est ça tu as deviné! Je me penche plus sérieusement sur ce lemme de Mazur (là encore ça n'a pas l'air facile). Merci beaucoup