Développement asymptotique d'une suite

[mehdi-128]

Bonjour,

Je suis en train de traiter ce problème, mais n'ayant pas la solution, j'aimerais savoir si je n'ai pas fait d'erreur. Par ailleurs, je bloque sur la fin.

On considère la suite définie par

1/ Dresser le tableau de variation de la fonction
La fonction est strictement croissante sur et strictement décroissante sur

2/ En déduire que pour tout entier on a :



Soit , par décroissance de la fonction sur on a :
En intégrant on obtient :

Soit , par décroissance de la fonction sur on a :
En intégrant on obtient :

3/ En déduire la limite de la suite .
En sommant de à et en intégrant j'obtiens :



Je ne vois pas comment calculer la limite de à partir de l'encadrement

[infernaleur]

Rappel: Si Vn <= Un à partir d’un certain rang et que Vn tend vers + l’infini Alors Un aussi

(Remarque : ton encadrement te donne un équivalent de Sn)

[vam]

https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/858531-signe.html
autant savoir....

[mehdi-128]

https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/858531-signe.html
autant savoir....

Oui et ? Ce n'est pas une question que j'ai posé ici, c'est une autre question qui est différente.

[mehdi-128]

Rappel: Si Vn <= Un à partir d’un certain rang et que Vn tend vers + l’infini Alors Un aussi

(Remarque : ton encadrement te donne un équivalent de Sn)

Ok merci, j'ai trouvé

[mehdi-128]

Je n'arrive pas à résoudre la question suivante :

On pose
Montrer que et en déduire qu'elle converge.
Il est clair qu'elle est minorée par 0 car elle est minorée par 0 à partir du rang .

Je voulais utiliser l'inégalité suivante mais elle n'est valable que pour :

[Kolis]

Fais la démonstration pour puis vérifie directement que cela reste valable pour (le calcul de ne doit pas être bien difficile).

[mehdi-128]

Fais la démonstration pour puis vérifie directement que cela reste valable pour (le calcul de ne doit pas être bien difficile).

L'épreuve étant sans calculatrice, montrer sans calculatrice que j'ai un peu de mal

Je sais que la fonction est croissante sur mais le gêne.

[henryallen]

Si on démontre qu’à partir du rang 4 la suite est minorée et décroissante, elle reste dans tous les cas convergente (peu importe ce qui se passe aux rangs précédents, cela ne changera pas le comportement en l´infini).

Edit: j’ai lu trop vite, je croyais qu’on demandait juste la convergence, mais on demande l’inégalité à partir de n = 3 ...

[mehdi-128]

Je ne sais pas montrer que

Pour , on a :

Or d'après l'encadrement de

Donc :

Je suis obligé d'étudier la fonction sur ?

[Kolis]

Je te signale que et on n'a pas besoin de calculette pour trouver le signe de (je suppose qu'on a le droit de dire que sans calculette).

Tu devrais corriger ton énoncé : "démontrer qu'elle converge".
Le "elle" est ambigu, je suppose qu'il s'agit de montrer la convergence de pas celle de

[mehdi-128]

Oui vous avez raison pour l'erreur. J'essaie de le faire car je n'ai pas compris d'où sortent les log 12 et log 4/3



Toujours le même souci, le gêne, on connait que le signe de

C'est un casse tête chinois

[mehdi-128]

Pour l'étude de la fonction sur je bloque pour étudier le signe de la dérivée...

J'obtiens

Le dénominateur est positif sur mais le numérateur je n'arrive pas à étudier son signe

[lyceen95]

D'où sortent les log(12) et log(4/3) ?

Normalement, tu sais que log(ab) , c'est log(a)+ log(b), et que log(a/b), c'est log(a)-log(b).
Ca marche aussi dans l'autre sens :
log(a)+log(b), c'est log(ab), et log(a-b), c'est log(a/b).

C'est le genre de trucs qu'on voit immédiatement, ou pas, selon qu'on a l'esprit matheux ou pas.

[mehdi-128]

Ok merci de toute façon je vais réfléchir à tête reposée, je me suis peut être embarqué dans des calculs inutiles et compliquées pour rien.
Il faut que je réfléchisse aux différentes options possibles.

[Kolis]

Tu écris : J'obtiens

Il vaut mieux le laisser sous la forme car la fonction est décroissante sur .

[mehdi-128]

Bien vu Kolis

La fonction étant décroissante sur , il suffit de montrer que

J'ai écrit

Donc

Comme , il suffit d'étudier le signe de :

On a : car

La suite est décroissante et minorée par 0 à partir d'un certain rang, elle converge.

Je mets la suite si ça vous intéresse, j'y réfléchis.

On considère la suite définie par :

Prouver que pour tout entier naturel non nul :

[pascal16]

compare leur carré

[mehdi-128]

Ça marche Pascal j'ai réussi. Je tente la récurrence pour la dernière question.

Posons pour la propriété :

Au rang : et donc la propriété est vraie au rang .

Supposons vraie au rang fixé.



D'après l'hypothèse de récurrence :



Donc :

Je suis bloqué à ce stade

[mehdi-128]

J'ai transformé le :



Donc :

Sans le 1/2 j'ai le bon résultat mais du coup je ne comprends pas où est l'erreur Pourquoi j'ai un 1/2 en trop