Image d'un réel

[Romanouch]

Bonjour,

Soit x un élément de E une partie bornée fermée de R et f une application continue de E dans R.

Quel argument permet d'affirmer que pour tout x dans E, f(x) est fini?

Merci d'avance.

[stu]

La définition d'une application.



La fonction n'est pas défnie en 0.

La recherche de l'ensemble de définition permet de définir une application à partir de la fonction citée ci-dessus.


Il est préférable de dire : "est-ce que est bien défnie en ?", plutôt que de dire "est-ce que est fini"?

[Romanouch]

L'application f dont je parle est continue sur E, donc définie sur E.

Quel argument permet de dire que f(x) est fini? Question bête, mais je ne trouve pas de réponse claire.

[lyceen95]

Je répète la question, avec mes mots : f est définie sur E, qu'est-ce qui permet de dire que f(x) est défini ?
Je crois que la réponse est dans la question.

[stu]

si est défnie en , il existe un unique réel tel que

[Romanouch]

En fait, je crois que ma question est "Est-ce que l'infini est un nombre réel?". Alors là je sais qu'on m'a expliqué que non, mais j'ai bien l'impression que je ne comprends pas vraiment pourquoi. Parfois, on considère la droite achevée des réels, comme si +inf et -inf étaient des réels, bref, quelqu'un peut me clarifier un peu sur ça?

[mathelot]

bonjour,
on utilise l'infini notamment dans quatre cas:
- le calcul de limites
-en topologie quand on compactifie des parties de R
- en théorie de l'intégration (et de la mesure) quand on considère des intégrales divergentes
ou des ensembles de mesure infinie
- en théorie des cardinaux

[Romanouch]

@mathelot

Est-ce que +inf est un nombre réel?
Un nombre réel étant la limite de suites de Cauchy, la réponse me semble être non.

Donc, si f est définie en x, puisque f(x) doit par conséquent être réel, et si +/- inf n'est pas un nombre réel, ok f(x) ne peut être infini.

J'ai la réponse à ma question du début, mais ça ne me satisfait pas vraiment. Je manipule la notation +inf depuis quand même quelque temps, et ce matin, je me rends compte que je ne saurais que très difficilement en donner une définition... une piste à me donner?

[GaBuZoMeu]

et ne sont pas des nombres réels, ça c'est bien sûr !
Alors que sont-ils ? Ce sont des points qu'on ajoute à la droite réelle (pour en faire la "droite réelle achevée"). On étend l'ordre en déclarant que est plus grand que tout réel, et plus petit. On étend la topologie en déclarant que a une base de voisinage ouverts formée des intervalles avec (et symétriquement pour ). Ceci permet de définir des limites pour ou , aussi de définir des limites infinies. La droite achevée est compacte, donc toute suite de point dans la droite achevée a une valeur d'adhérence dans la droite achevée.
On peut aussi étendre partiellement et de façon continue les opérations sur les réels à la droite achevée de la manière que tu connais, et on a alors les résultats que tu connais sur les opérations et les limites infinies.
Mais, de nouveau, ne sont pas des réels !!!

[Romanouch]

@GaBuZoMeu

Une fois défini, je comprends qu'on "étende" la topologie, qu'on parle de limite, etc. Mais à la base, ma question tourne autour de la définition de la notion d'infini.

+/- inf sont des points qu'on ajoute à la droite réelle? Je ne comprends pas.

[lyceen95]

Traçons une droite ( pas facile, tout ce qu'on sait faire, c'est tracer un segment de droite, ça commence mal, mais oublions ça).
Sur cette droite, on va placer 2 points qu'on va noter 0 et 1. Et à partir de ces 2 points on sait faire une graduation, on sait convertir n'importe quel point de cette droite en un nombre fini. Eventuellement, si on prend un point très loin des 2 premiers points, le nombre sera très grand, mais ça restera un nombre fini.

Quand on parle de l'infini, ce n'est pas un point de cette droite (on vient de le dire, chacun de ces points est un nombre fini, parfaitement déterminé). Donc ce n'est pas un nombre, ou encore, ce n'est pas un réel.
L'infini n'est jamais associé à un point, mais à une suite de points. Plus précisément une suite infinie de points. (on tourne en rond, j'ai besoin d'utiliser une suite infinie pour définir l'infini....).
L'infini, c'est un terme plus ou moins fourre-tout : aussi loin qu'on aille dans telle direction, l'infini est encore plus loin.
L'infini, selon moi, ce serait plus une direction qu'un point.

En topologie (et pas uniquement), c'est utile de travailler sur R union { -infini, +infini } Mais ce n'est plus R, c'est un autre ensemble.

[GaBuZoMeu]

Il n'y a rien à comprendre. La "nature" de est une question vaine. Ce qui compte, c'est les propriétés de la droite réelle achevée.

Je peux te donner une définition tordue : la droite réelle achevée est le segment . On identifie le réel au point de la droite réelle achevée, et on rebaptise le de la droite réelle achevée en et le en .

[Romanouch]

@lyceen95

J'ai l'impression que la notion d'infini est tout aussi claire pour moi que pour toi. C'est sympa d'essayer de m'expliquer, sans ironie j'apprécie, mais là, avec ta définition "fourre-tout", "on tourne en rond"et "selon moi", il me semble que tu pourrais te joindre à moi dans le questionnement

@GaBuZoMeu

J'essaie de mieux comprendre cette notion qui me semble absoluement centrale. Tu dis que c'est vain ou inutile, si tu le justifies je pourrais arrêter de me questionner pour rien alors, mais là ça m'avance pas trop.
Pour la correspondance choisie, je la comprends, mais j'ai l'impression que tu utilises une limite à l'infini pour faire correspondre -1 à -inf et 1 à +inf, ce qui me semble tourner en rond.

[GaBuZoMeu]

Désolé pour toi, mais je ne peux pas grand chose pour t'aider à surmonter ce blocage psychologique sur la "nature" de .
Juste te dire que ce questionnement, si tu veux être consistant, ne devrait pas s'arrêter là. Quelle est la nature de 0 ? Si on le voit comme un entier défini à la von Neumann, c'est . Mais si on le voit comme entier relatif, qu'est-ce que c'est ? Et si on le voir comme rationnel ? Doit-on le voir comme la classe d'équivalence du couple (0,1), c.-à-d. la fraction ? Et si on le voit comme réel ? Doit-on le voir comme classe d'équivalence de suites de Cauchy de rationnels ? Ou alors comme coupure de Dedekind dans ?

Bref, se poser de questions métaphysiques sur l'"essence" des objets me semble complètement vain et contre-productif. C'est perdre son temps pour quelque chose qui n'a pas d'intérêt. Encore une fois, ce qui compte ce sont les propriétés des objets que l'on manipule. Et il me semble que les propriétés de la droite achevée sont claires, d'ailleurs tu les connais sans aucun doute.

[Romanouch]

Qu'est-ce que 0?
Un nombre.

Après, on peut le définir de plein de façons différentes, je comprends ce que tu veux dire, et la nature axiomatique des maths me semble être une source de cette multitude de vues.
Je suis d'accord que si je commençais à demander ce qu'est un nombre, on pourrait me dire que j'ai un blocage psychologique, que je fais de la métaphysique, etc.

Mais pour l'infini, ce n'est pas pareil. Ce n'est pas comme si tu me donnais un tas de façons différentes de le définir. En fait, à la question "qu'est-ce que l'infini?", pour le moment je ne trouve aucune réponse, contrairement à zéro...

Il me semble qu'on essaie toujours de définir proprement les notions qu'on manipule en maths, pourquoi l'infini serait une exception? Si on n'y arrive pas, alors on axiomatise. Mais là, on fait quoi? On dit que c'est pas important? Que l'important c'est autre chose? Ca te paraît pas "peu habituel" de penser comme ça?

[lyceen95]

J'ai au contraire le sentiment d'être très à l'aise avec cette notion d'infini. Cette notion est plus ou moins mystique pour certains, et j'essaie uniquement de la démystifier, en utilisant un vocabulaire volontairement simpliste.
Si j'utilisais les termes mathématiques habituels, je ferais doublon avec les autres intervenants, comme Gabumozeu. Aucun intérêt.
J'essaie juste d'être complémentaire, en prenant une voie très loin de la voie officielle.
Enlève les mots comme 'fourre-tout' et autres qualificatifs du même genre, et relis mon message d'un autre oeil.

[Romanouch]

@lyceen95

Je suis vraiment désolé parce que je ne cherche pas à être désagréable, mais j'ai enlevé "fourre-tout" et autres et ya plus rien alors je veux bien une définition rigoureuse, quitte à ce qu'elle soit difficile à comprendre, au moins j'aurai essayé de comprendre. Ou un lien vers un document qui parle de ça, je prends tout si ça peut m'aider à avancer.

[GaBuZoMeu]

Tu fais un blocage sur le mot "infini" parce que tu veux y chercher un sens caché, alors qu'il n'y rien que de très terre à terre : on rend compact en ajoutant un point à gauche et un point à droite - de même que l'intervalle ]-1,1[ devient compact quand on ajoute un point à gauche et un point à droite. Pour la droite achevée, les points ajoutés ne sont pas des réels. Et alors ? Peu importe "qui" ils sont, une nouvelle fois ce qui compte c'est les propriétés de la droite réelle achevée.

Si tu veux, tu peux poser , étendre à \ l'ordre sur en posant que est plus petit que tous les réels et plus grand etc..
Et après on peut convenir de noter plutôt (on convient bien de noter 0 la classe d'équivalence des suites de Cauchy de rationnels contenant la suite constante 0, n'est-ce pas ?)

[stu]

Je ne pense pas que tu trouveras une définition de comme tu le souhaites...

Par contre tu trouveras des définitions du genre :



Tu remarqueras que le disparaît dans la proposition à droite de l'équivalence.

Dit autrement si la fonction vérifie , on dit que f tend vers l'infini lorsque tend vers l'infini et on note :

C'est juste une notation, on trouve aussi cette notation ,

Il y a d'autres exemples, comme , les trois petits points sont à remplacer par une définition rigoureuse.

Pour terminer, je n'ai pas un niveau assez avancé pour te parler de la notion d'infini en général, Par contre les notations où tu trouveras le symbole infini, sont toujours associées à des définitions mathématiques, ce sont ces définitions qu'il faut travailler pour mieux comprendre.

[mathelot]

Notons que l'on peut compactifier la droite réelle en ajoutant un seul point oo, on obtient un espace homéomorphe à un cercle.
Par ailleurs. Pour les ensembles un ensemble E est de cardinal infini si et seulement si il est en bijection avec une partie propre de lui (par exemple N et 2N)