> Très noble préoccupation de la aprt d'un futur aggrégé.
>
> L'antithèse d'un Ciarlet, en quelque sorte.
Je peux pas te laisser dire ça. Quand on fait de l'analyse numérique, il
faut parler à un PC, donc faut bien être un peu formel, non ?
[color=green]
>> Il est alors clair que si une suite converge, alors elle est de Cauchy.
>> A priori, il paraitrait raisonnable de penser qu'une suite de Cauchy
>> converge. La raison de cette intuition est que, en reprenant la
>> définition d'une suite de Cauchy (a_n), on peut trouver des boules B1,
>> B2, ...., Bn, ... telles que
>> 1) B1 contient B2 qui contient B3 qui ..... contient Bn qui ....
>> 2) le diamètre des Bi tend vers 0.
>> 3) Pour toute boule Bi, à partir d'un certain rang, toute la
>> suite (a_n) se trouve dans cette boule Bi.
>> Alors, on s'attendrait raisonnablement à ce que l'intersection de toutes
>> ces boules contiennent un point. (Faire un dessin avec des boules
>> vérifiant 1) et 2) ).
>>
>> Tu peux vérifier que si il y a bien un point dans l'intersection de ces
>> boules, alors ce point est la limite de la suite de Cauchy. Elle
>> converge.
>
>
> Oui, mais si les boules ont effectivement un rayon de plus en plus
> petit, elles ne sont pas forcément exactement concentriques, et on se
> retrouve alors avec une suite de Cauchy, mais pas une suite convergente.[/color]
Je n'ai pas parlé de suite de boules concentriques. Je parle juste de
boules encastrées les unes dans les autres. Mais l'idée est là :
Si elles ont un "centre", ou plus généralement un point en commun, alors
bingo ! Convergence. Sinon, c'est raté.
> Pas mal, ton explication à base de boules ! Tout s'éclaire !
>[color=green]
>> Par contre, si l'intersection de toutes ces petites boules est vide,
>> alors la suite de Cauchy ne peut pas converger. En effet, vers quoi
>> convergerait-elle ?
>
> Il suffirait juste que l'intersection soit vide entre deux boules
> d'indices différents, pas forcément consécutifs, non ?[/color]
Non, parce que les boules que nous avons choisies sont encastrées les
unes dans les autres.
> Il suffit de constater que pour une boule n, on ait une boule Bn+p pour
> laquelle l'intersection est vide, quelle que soit la avleur de p (enifn,
> je pense).
Non. C'est une intuition trop hâtive.
Par exemple, considérons l'espace ]0,1], muni de la distance issue de la
valeur absolue. (0 n'appartient pas à ]0,1])
Considérons les boules B_n centrées en 1/n et de rayon 1/n.
(Mea culpa à propos de mes précédents mails. Nos boules sont fermées)
L'intersection de deux de ces boules est non-vide.
L'intersection de toutes ces boules est vide, car 0 n'est pas dans ]0,1].
[color=green][color=darkred]
>>> La seule différence entre une suite de Cauchy et une suite
>>> convergente est de savoir si le point vers lequel vont les termes de
>>> la suite appartient à E.
>>
>>
>> Tout à fait d'accord. Le problème c'est que si tu parle d'un espace
>> non-complet, ne jamais dire, "elle converge, mais hors de E". Sauf si tu
>> sais construire le complété de manière rigoureuse.
>> Il est préferrable de dire alors qu'il n'y a pas convergence.[/color]
>
>
> Et il faut donc remplacer le terme "converger" par "être suite de Cauchy" ?[/color]
Voilà, c'est un point de vue. Etre de Cauchy est plus faible que la
convergence. C'est une sorte de convergence potentielle: il est possible
qu'il y ait convergence, à condition de considérer une extension
adéquate de ton espace, i.e. le complété. (Je radote, je sais).
[color=green]
>> Quand on complète l'espace des fonctions continues muni de la norme 1,
>> on obtient la théorie de Lebesque pour l'intégration. cf post-prépa,
>> i.e. Licence. Souvent bâclé en école d'ingénieur.
>
> Ben je prépare en fait un diplôme d'ingénieur en calcul scientifique.
> La théorie est clairement bâclée.
> C'est particulier, car c'est au CNAM. Très applicatif, donc.[/color]
Certes, mais tu trouveras plus facilement du taf dans le privé que si tu
as étudié la géométrie algébrique à Paris VI.
> Mais durant ma vie professionnelle, j'ai appris à vouloir tout
> comprendre, et à vouloir réinventer la roue.
Bien, ça. Faut pas trop en faire une habitude, car ça pourrit un peu la
vie. Mais c'est très bien.
> depuis que j'ai repris mes
> études en maths, j'essaye de me refarcir les démosntrations, chose que
> je ne faisais jamais avant, notamment en prépa (manque de temps,
> sûrement). Mais je n'avais pas passé la sup, ce qui explique que je ne
> sois pas très à l'aise avec la topologie.
T'inquiète pas trop. Il y a des centraliens qui ont jamais trop pigé.
[color=green]
>> Cette notion a en général toujours un peu de mal à passer. C'est normal.
>> C'est ce que les grecs ont eu du mal à piger lorsqu'ils ont découvert
>> les irrationnels. C'est ce qu'on a eu du mal à piger pour passer de la
>> théorie d'intégration de Riemann à la théorie d'intégration de Lebesgue.
>
>
> Ca me rappelle tout à fait la déroute de l'esprit quand on découvre
> l'algèbre linéaire avec les corps, anneaux, et tutti quanti.
> On se retrouev face au même problème: une généralisation théorique de
> sujets que l'on croit connaître.[/color]
Bien en fait, si t'aimes réinventer la roue, l'idée c'est juste de la
réinventer avec le moins de matériaux possibles. Comme tu demande moins
de matériaux, tu pourras construire ta roue dans des conditions plus
générales. C'est ce qui se passe pas en topologie, en algèbre, (presque)
partout.
Y'avais même un monsieur assez célèbre (Alexander Grothendieck) qui en
avait fait une méthode : "Je généralise jusqu'à ce que ça devienne
trivial." Mais bon, ça rend un peu dingue. Il a fini dans les bois ...
> Mais je n'ai vraiment connu la lumière en algèbre linéaire que depuis le
> bouquin de Grifone, excellent en pédagoge.
Connais pas.