Suite de cauchy dans un espace de Hilbert

[Anonyme]

Voilà toutes les hypothèses, je sais pas desquelles me servir.

E espace de Hilbert
C convexe fermé non vide de E
(Xn) suite d'éléments de C telle que lim ||x - Xn || = dist (x,C) (aucune
précision n'est donnée sur x, est-ce pour tout x ...)

On montre que || Xn - Xm ||² = 2||x -Xn||² + 2||x-Xm||² - ||2x - Xn - Xm ||
²

Il faut en déduire que la suite (Xn) converge vers un point y de C vérifiant
||x - y || = dist (x,C)
Je pense qu'il faut montrer que la suite est de Cauchy, mais je ne vois pas
comment.

Merci d'avance pour votre aide

[Anonyme]

"Mathieu VIENNEY" a écrit dans le message de
news: bo2ijm$e20$1@news-reader3.wanadoo.fr...
> Voilà toutes les hypothèses, je sais pas desquelles me servir.
>
> E espace de Hilbert
> C convexe fermé non vide de E
> (Xn) suite d'éléments de C telle que lim ||x - Xn || = dist (x,C) (aucune
> précision n'est donnée sur x, est-ce pour tout x ...)
>
> On montre que || Xn - Xm ||² = 2||x -Xn||² + 2||x-Xm||² - ||2x - Xn - Xm
||
> ²
>
> Il faut en déduire que la suite (Xn) converge vers un point y de C
vérifiant
> ||x - y || = dist (x,C)
> Je pense qu'il faut montrer que la suite est de Cauchy, mais je ne vois
pas
> comment.
>
> Merci d'avance pour votre aide

Tu traduis le texte avec des epsilons

1/ ||x -Xn||² et ||x-Xm||² sont compris entre (dist (x,C))² et (dist
(x,C)+e)²donc 2||x -Xn||² + 2||x-Xm||² est compris entre 4dist (x,C)² et
4(dist (x,C)+e)²
2/ ||2x - Xn - Xm ||² = 4||x - (Xn + Xm)/2 ||² et (Xn+Xm)/2 est dans le
convexe C donc ||x - (Xn + Xm)/2 ||>=d(x,C)

1/ + 2/ nous donne || Xn - Xm ||²
>[/color]