Je suis bloqué sur un exercice de probabilités:
"Soit
1) Soit
Là c'est une loi géométrique,
2) Soit
Je suis parti du principe que
3) Quelle est la loi de
Là je suis un peu bloqué. Peut-on dire que:
[Proba] Schéma de Bernoulli
19 messages
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[Proba] Schéma de Bernoulli
par trablazar » 20 Sep 2018, 12:39
Bonjour,
Je suis bloqué sur un exercice de probabilités:
"Soit)
une suite de Bernoulli indépendante de paramètre p.
1) Soit
le premier instant où 1 apparaît dans la suite des réalisations de 
. Déterminer la loi de .
Là c'est une loi géométrique, = (1-p)^{k-1}*p)
2) Soit
le premier instant après où 1 apparaît de nouveau. Montrer que 
et sont indépendantes et de même loi.
Je suis parti du principe que et sont indépendantes pour le démontrer, jusque là je pense que c'est OK.
3) Quelle est la loi de ?
Là je suis un peu bloqué. Peut-on dire que:
 = \sum\limits_{i=0}^nP(T_1 = n)*P(T_2 - T_1 = m - n))
?
Je suis bloqué sur un exercice de probabilités:
"Soit
1) Soit
Là c'est une loi géométrique,
2) Soit
Je suis parti du principe que
3) Quelle est la loi de
Là je suis un peu bloqué. Peut-on dire que:
Re: [Proba] Schéma de Bernoulli
par LB2 » 20 Sep 2018, 12:50
Bonjour,
je serais bien curieux de ta preuve de 2) ...
A ton avis, T1 et T2 sont indépendantes?
Autrement dit, l'information que T1 vaut 1, 10, 100, 1000 ne change pas la loi de T2?
Si l'on te dit : X1, X2, ....., X999 valent 0, et X1000 vaut 1, tu penses que T2 aura même loi que si X1 vaut 1 par exemple?
En revanche il est correct que T2-T1 et T1 sont indépendantes : c'est un processus sans mémoire en quelque sorte.
3) C'est bien ça, mais tu t'embrouilles dans les indices, la somme devrait se simplifier.
je serais bien curieux de ta preuve de 2) ...
A ton avis, T1 et T2 sont indépendantes?
Autrement dit, l'information que T1 vaut 1, 10, 100, 1000 ne change pas la loi de T2?
Si l'on te dit : X1, X2, ....., X999 valent 0, et X1000 vaut 1, tu penses que T2 aura même loi que si X1 vaut 1 par exemple?
En revanche il est correct que T2-T1 et T1 sont indépendantes : c'est un processus sans mémoire en quelque sorte.
3) C'est bien ça, mais tu t'embrouilles dans les indices, la somme devrait se simplifier.
Re: [Proba] Schéma de Bernoulli
par Ben314 » 20 Sep 2018, 13:35
Salut,
Et pour t'aider encore un peu plus, ça semble plus que judicieux de commencer par déterminer ce qu'on appelle pompeusement la "loi conjointe" du couple)
, c'est à dire en fait la valeur des
)
pour 
Et c'est là qu'on va voir si, non seulement tu sait "par cœur" que est suit une loi géométrique, mais est-ce que tu sait aussi comment on procède pour le démontrer vu que là, c'est la preuve qu'il va falloir un peu modifier pour l'adapter à la nouvelle question.
Et pour t'aider encore un peu plus, ça semble plus que judicieux de commencer par déterminer ce qu'on appelle pompeusement la "loi conjointe" du couple
Et c'est là qu'on va voir si, non seulement tu sait "par cœur" que
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: [Proba] Schéma de Bernoulli
par trablazar » 20 Sep 2018, 15:56
Ah oui donc retour à la question 2 !
Il est vrai que je manque gravement de formalisme... Ma réponse pour la question consiste en un arbre binaire et j'y montre à coup de probabilités totales que T1 suit une loi géométrique...
Le problème est que je n'ai pas suivi de cours de probabilité depuis le Lycée, je suis donc un peu perdu !
Pour revenir à la question 2, je pose donc:
)
Je dis ensuite que l peut être décomposée avec k (et le nombre d'échecs après k sera appelé m). On a alors:
)
)
)
Et là, c'est le hic, je sais pas ce que j'ai le droit de faire sur cette expression pour la décomposer
J'ai envie de dire que T2 - T1 suit une loi géométrique totalement indépendantes de T1, dans le sens où ce serait en quelque sorte une loi géométrique qui "commence" au rang (au lieu de T1 qui "commence" à 
). Comment puis-je le formaliser, ou comment puis-je décomposer la dernière expression ?
En tout cas merci pour vos réponses !
Edit: Au cas où j'ai le droit de dire que:
 = P(T_1 = k) * P(T_2 - T_1 = m))
Alors je trouve
^l)
Encore faut-il que je puisse décomposer l'expression... Le problème c'est que cette décomposition est ce que j'ai à prouver
Il est vrai que je manque gravement de formalisme... Ma réponse pour la question consiste en un arbre binaire et j'y montre à coup de probabilités totales que T1 suit une loi géométrique...
Le problème est que je n'ai pas suivi de cours de probabilité depuis le Lycée, je suis donc un peu perdu !
Pour revenir à la question 2, je pose donc:
Je dis ensuite que l peut être décomposée avec k (et le nombre d'échecs après k sera appelé m). On a alors:
Et là, c'est le hic, je sais pas ce que j'ai le droit de faire sur cette expression pour la décomposer
J'ai envie de dire que T2 - T1 suit une loi géométrique totalement indépendantes de T1, dans le sens où ce serait en quelque sorte une loi géométrique qui "commence" au rang
En tout cas merci pour vos réponses !
Edit: Au cas où j'ai le droit de dire que:
Alors je trouve
Encore faut-il que je puisse décomposer l'expression... Le problème c'est que cette décomposition est ce que j'ai à prouver
Re: [Proba] Schéma de Bernoulli
par Ben314 » 20 Sep 2018, 16:07
Pour le moment, à part "tourner en rond", ce que tu écrit, ça ne conduit pas à grand chose.
Le fait d'avoir
et 
, ça signifie quoi en terme de 
?
Le fait d'avoir
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: [Proba] Schéma de Bernoulli
par trablazar » 20 Sep 2018, 18:16
Ok, je tiens peut-être quelque chose alors: (en posant l = k + m)
)
)
)
Puisque les Xn sont indépendants:
*P( X_2 = 0 )*...*P(X_k = 1 )*P( X_{k+1} = 0)*...*P(X_{h+m-1} = 0)*P(X_{k+m} = 1))
 * (1-p) * ... * p * (1-p) * ... * (1-p) * p)
^{k+m-2})
(pas 100% sûr de l'exposant du (1-p))
Du coup on retrouve bien:
^{k-1} * p * (1-p)^{m-1})
 * P(T_2 - T_1 = m))
Le problème c'est qu'en disant ça je sous entend que T2 - T1 suit une loi géométrique, sinon ce résultat n'a aucune valeur, non ?
Puisque les Xn sont indépendants:
Du coup on retrouve bien:
Le problème c'est qu'en disant ça je sous entend que T2 - T1 suit une loi géométrique, sinon ce résultat n'a aucune valeur, non ?
Re: [Proba] Schéma de Bernoulli
par aviateur » 20 Sep 2018, 22:52
Bonjour
Il y a la fin qui ne va pas et effectivement tu utilises la loi de
alors que c'est ça qu'il faut chercher..
Mais d'abord il faut un peu plus de rigueur pour arriver au résultat.
Je vais commencer par un détail car pour moi c'est important malgré tout. Quand tu écris
)
il est préférable d'écrire avec des parenthèses ou crochets:
\cap (T_2-T_1=m )).)
Ensuite plus important c'est de préciser ce que sont k et l (ici
et 
.)
Donc ce qui est sûr c'est que tu as calculé correctement
p\cap (T_2=l)]=p^2(1-p)^{l-2},\forall l>k\geq 1.)
Maintenant l'évènement \cap (T_2-T_1=m)] ,\forall k,m\geq 1)
c'est
 \cap (T_2=k+m)] ,\forall k,m\geq 1)
dont la probabilité est 
Il reste à calculer ,\forall m\geq 1)
=\sum_{k=1}^{\infty} p_{k,k+m}=....)
à finir sans problème
Bon tu remarqueras que on n'a pas démontré (et utilisé) que et sont indépendantes. Tu pourras le faire pour finir quoique pour moi (voir aussi la remarque de LB2 c'est évident sans calculs).
Il y a la fin qui ne va pas et effectivement tu utilises la loi de
Mais d'abord il faut un peu plus de rigueur pour arriver au résultat.
Je vais commencer par un détail car pour moi c'est important malgré tout. Quand tu écris
Ensuite plus important c'est de préciser ce que sont k et l (ici
Donc ce qui est sûr c'est que tu as calculé correctement
p
Maintenant l'évènement
Il reste à calculer
Bon tu remarqueras que on n'a pas démontré (et utilisé) que
Re: [Proba] Schéma de Bernoulli
par trablazar » 21 Sep 2018, 12:33
Oui en effet, j’essaierai à l'avenir de faire preuve de plus de formalisme.
Je n'aurais par ailleurs jamais pensé à poser=\sum_{k=1}^{\infty} p_{k,k+m})
.
Du coup en posant cette équation je retombe bien sur:
=p * (1-p)^{m-1})
Donc de ce fait je peux affirmer que (T2 -T1) est une suite géométrique, donc en reprenant mon résultat précédent:
Ce qui termine de prouver l'indépendance, puisque
= m) = P(T_1 = k) * P(T_2 - T_1 = m))
Enfin, pour la question 3 (Quelle est la loi de T2 ?):
 = \sum\limits_{i=1}^{m-1}P(T_1 = i \cap T_2 = m))
 = \sum\limits_{i=1}^{m-1}P(T_1 = i \cap (T_2 - T_1) = m - i))
Or T1 et (T2 - T1) sont indépendants, donc:
 = \sum\limits_{i=1}^{m-1}P(T_1 = i) * P((T_2 - T_1) = m - i))
 = \sum\limits_{i=1}^{m-1}p * (1-p)^{i-1} * p * (1-p)^{m-i-1})
 = \sum\limits_{i=1}^{m-1}p^2 * (1-p)^{m-2})
 = (m-1) * p^2 * (1-p)^{m-2})
Voila voila, aucune loi que je reconnaisse
Je peux donc accéder à la dernière question:
4) Notons An l’événement
. La suite des événements )
est-elle indépendante ?
Je cherche donc à prouver (ou non) que:
 = P(A_n)*P(A_{n+1}))
En commencant avec)
:
 = P((X_n \ne X_{n+1}) \cap (X_{n+1} \ne X_{n+2})))
 = P((X_n =0 \cap X_{n+1} = 1 \cap X_{n+2} = 0) \cup (X_n = 1 \cap X_{n+1} = 0 \cap X_{n+2} = 1)))
Sachant que = P(A) + P(B) - P(A\cap B))
alors:
 = P(X_n =0 \cap X_{n+1} = 1 \cap X_{n+2} = 0) + P(X_n = 1 \cap X_{n+1} = 0 \cap X_{n+2} = 1) - P((X_n =0 \cap X_{n+1} = 1 \cap X_{n+2} = 0) \cap (X_n = 1 \cap X_{n+1} = 0 \cap X_{n+2} = 1)))
Evidemment,
 \cap (X_n = 1 \cap X_{n+1} = 0 \cap X_{n+2} = 1)) = 0)
Donc,
 = P(X_n =0 \cap X_{n+1} = 1 \cap X_{n+2} = 0) + P(X_n = 1 \cap X_{n+1} = 0 \cap X_{n+2} = 1))
De plus, les Xn sont indépendants (Hallelujah):
 = P(X_n =0) * P(X_{n+1} = 1) * P(X_{n+2} = 0) + P(X_n = 1) * P(X_{n+1} = 0) * P(X_{n+2} = 1))
 = (1-p)^2 * p + p^2 * (1-p))
 = p * (1-p))
Maintenant, pour*P(A_{n+1}))
:
*P(A_{n+1}) = P(X_n \ne X_{n+1}) * P(X_{n+1} \ne X_{n+2}))
J'ai bien envie de dire que = P(A_{n+1}))
, j'en suis sur mais je sais pas si il faut ajouter quelque chose !
Du coup:
*P(A_{n+1}) = 2 * P(X_n \ne X_{n+1}))
*P(A_{n+1}) = 2 * P((X_n = 1 \cap X_{n+1} = 0) \cup (X_n = 0 \cap X_{n+1} = 1)))
Toujours avec la formule du dessus sur)
:
*P(A_{n+1}) = 2 * (P(X_n = 1 \cap X_{n+1} = 0) + P(X_n = 0 \cap X_{n+1} = 1) - P((X_n = 1 \cap X_{n+1} = 0) \cap (X_n = 0 \cap X_{n+1} = 1)))
Encore une fois, la probabilité toute à droite est nulle, et les Xn sont indépendants, donc:
*P(A_{n+1}) = 2 * (P(X_n = 1) * P(X_{n+1} = 0) + P(X_n = 0) * P(X_{n+1} = 1)))
*P(A_{n+1}) = 4 * p * (1-p))
Donc j'en déduis que la suite des événements An n'est pas indépendante, car \ne P(A_n)*P(A_{n+1}))
Qu'en pensez-vous ? Y-a-t'il des endroits où j'aurais pu mieux formaliser ? Ai-je le "droit" de faire toutes ces équations ?
Merci
Je n'aurais par ailleurs jamais pensé à poser
Du coup en posant cette équation je retombe bien sur:
Donc de ce fait je peux affirmer que (T2 -T1) est une suite géométrique, donc en reprenant mon résultat précédent:
trablazar a écrit:
Ce qui termine de prouver l'indépendance, puisque
Enfin, pour la question 3 (Quelle est la loi de T2 ?):
Or T1 et (T2 - T1) sont indépendants, donc:
Voila voila, aucune loi que je reconnaisse
Je peux donc accéder à la dernière question:
4) Notons An l’événement
Je cherche donc à prouver (ou non) que:
En commencant avec
Sachant que
Evidemment,
Donc,
De plus, les Xn sont indépendants (Hallelujah):
Maintenant, pour
J'ai bien envie de dire que
Du coup:
Toujours avec la formule du dessus sur
Encore une fois, la probabilité toute à droite est nulle, et les Xn sont indépendants, donc:
Donc j'en déduis que la suite des événements An n'est pas indépendante, car
Qu'en pensez-vous ? Y-a-t'il des endroits où j'aurais pu mieux formaliser ? Ai-je le "droit" de faire toutes ces équations ?
Merci
Modifié en dernier par trablazar le 22 Sep 2018, 10:55, modifié 1 fois.
Re: [Proba] Schéma de Bernoulli
par aviateur » 21 Sep 2018, 12:43
Bonjour
vite fait, en toute rigueur, pour la loi de tu dois vérifier si ton résultat est plausible.
C'est à dire est-ce que la somme des P(T_2=m) = 1.
Pour la nouvelle question j'ai regardé en gros.
Est ce que je peux mieux formaliser ? A mon avis ça va à ce niveau. Par ailleurs on comprend ce que tu fais et c'est une bonne chose.
Concernant ta démo " j'ai envie" de dire que=P(A_{n+1}))
Dans ce genre de situation je suis tout à fait d'accord. C'est un peu comme l'indépendance de et Ici on le démontre mais tout un chacun sait très bien que c'est le cas. Alors une démo est-elle nécessaire (pas forcément de mon point de vue).
Par contre il y a une erreur, c'est sûr, car en utilisant cela tu multiplie par 2 au lieu d'élever au carré.
vite fait, en toute rigueur, pour la loi de
C'est à dire est-ce que la somme des P(T_2=m) = 1.
Pour la nouvelle question j'ai regardé en gros.
Est ce que je peux mieux formaliser ? A mon avis ça va à ce niveau. Par ailleurs on comprend ce que tu fais et c'est une bonne chose.
Concernant ta démo " j'ai envie" de dire que
Par contre il y a une erreur, c'est sûr, car en utilisant cela tu multiplie par 2 au lieu d'élever au carré.
Re: [Proba] Schéma de Bernoulli
par trablazar » 21 Sep 2018, 13:55
Ah d'accord je note pour la loi de T2 ! Et oui en effet grossière erreur pour  * P(A_{n+1}))
, ce qui donnerait du coup  * P(A_{n+1}) = p^2 * (1-p)^2)
, donc toujours indépendants, l'un étant le carré de l'autre ! Merci pour tout, j'ai enfin compris l'exercice dans sa globalité (malgré quelques erreurs d'inattention habituelles...)
Re: [Proba] Schéma de Bernoulli
par LB2 » 21 Sep 2018, 15:39
Si p=1/2, les évènements sont indépendants!
car p(A_n)=2p(1-p) et 1/4=1/2*1/2 (attention ton calcul est faux)
car p(A_n)=2p(1-p) et 1/4=1/2*1/2 (attention ton calcul est faux)
Re: [Proba] Schéma de Bernoulli
par aviateur » 21 Sep 2018, 17:28
trablazar a écrit:Ah d'accord je note pour la loi de T2 !
Je ne suis pas sûr que tu as compris exactement ma remarque. En effet la première chose que je fais (pour moi même ou pour un autre c'est de contrôler le résultat) Pour une loi de proba, on vérifie si on a bien une proba.
Ici c'est pas le cas. Tu as fait une erreur pas grave mais il faut corriger.
Il faut aussi regarder la rem de Lb2
Re: [Proba] Schéma de Bernoulli
par trablazar » 22 Sep 2018, 10:53
LB2 a écrit:Si p=1/2, les évènements sont indépendants!
car p(A_n)=2p(1-p) et 1/4=1/2*1/2 (attention ton calcul est faux)
Alors oui en effet, encore une fois j'ai pas vérifié ! Du coup on a bien
En résolvant pour p, j'obtiens en effet que c'est indépendant si et seulement si
Du coup ça me fait un peu questionner tout ça, parce que j'ai plus l'intuition que l'indépendance de deux événements est intrinsèque à leur nature, et pas dépendante de leur probabilité... J'ai du mal à me dire que deux événements peuvent ou non être indépendants en changeant seulement leur p !
aviateur a écrit:Je ne suis pas sûr que tu as compris exactement ma remarque. En effet la première chose que je fais (pour moi même ou pour un autre c'est de contrôler le résultat) Pour une loi de proba, on vérifie si on a bien une proba.
Ici c'est pas le cas. Tu as fait une erreur pas grave mais il faut corriger.
C'est à dire que j'ai essayé de poser
Re: [Proba] Schéma de Bernoulli
par aviateur » 22 Sep 2018, 11:04
Bonjour 
tu peux le mettre en facteur.
Ensuite tu utilises^2}, |z|<1)
(obtenu par dérivation de })
)
Puis tu vas voir que cela ne fait pas 1, ce qui te permettras te corriger ton erreur (erreur d'exposant)
Ensuite tu utilises
Puis tu vas voir que cela ne fait pas 1, ce qui te permettras te corriger ton erreur (erreur d'exposant)
Re: [Proba] Schéma de Bernoulli
par trablazar » 23 Sep 2018, 17:34
aviateur a écrit:Bonjour
Ensuite tu utilises
Puis tu vas voir que cela ne fait pas 1, ce qui te permettras te corriger ton erreur (erreur d'exposant)
Ah oui en effet... Du coup je trouve que
Soit égal à 1 si p = 1... Du coup en effet y'a une erreur ! Pourtant en revérifiant je retrouve toujours
Re: [Proba] Schéma de Bernoulli
par Ben314 » 23 Sep 2018, 18:03
Là dedans : \!\times\! p^2\!\times\!(1\!-\!p)^{i-2})
, le truc qui est à une puissance variable, c'est le 
.
Donc c'est lui qui va jouer le rôle de
dans la formule ^2})
et donc ^2}\!=\!\dfrac{1}{p^2})
Et ça montre que ton truc avec un dénominateur égal à^2)
est totalement faux...
\!\times\! p^2\!\times\!(1\!-\!p)^{i-2}<br />=\sum_{j=1}^{\infty} j\!\times\! p^2\!\times\!(1\!-\!p)^{j-1}<br />=p^2\sum_{j=1}^{\infty} j(1\!-\!p)^{j-1}=p^2\!\times\!\dfrac{1}{p^2})
en appliquant^2})
à 
(qui est dans ]0,1[)
Donc c'est lui qui va jouer le rôle de
Et ça montre que ton truc avec un dénominateur égal à
en appliquant
Modifié en dernier par Ben314 le 23 Sep 2018, 18:08, modifié 3 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: [Proba] Schéma de Bernoulli
par aviateur » 23 Sep 2018, 18:04
Bonjour
Bon je ne sais ce qu'il se passe, j'avais vu^m)
et non ^{m-2})
.
Et bien on trouve 1.
En effet p^2 (1-p)^{m-2}= p^2 \sum_{m\geq 1} m (1-p)^{m-1}= 1)
P.S je viens de voir le message de @ben qui complète donc ma remarque ici.
En conclusion c'était bon mais il faut vérifier.
Bon je ne sais ce qu'il se passe, j'avais vu
Et bien on trouve 1.
En effet
P.S je viens de voir le message de @ben qui complète donc ma remarque ici.
En conclusion c'était bon mais il faut vérifier.
Re: [Proba] Schéma de Bernoulli
par Ben314 » 23 Sep 2018, 18:14
Sinon, de procéder comme ça :)
, c'est effectivement correct (et ça permet aussi de s'entrainer à faire des calculs), mais il y a quand même nettement plus simple (et plus évident) :
Avoir
, ça veut dire que le tirage, c'est d'abord 
termes dont un et un seul 1, puis un deuxième 1 en 
-ième position (puis absolument n'importe quoi ensuite)
Il y a donc tirages (de de long) conduisant à cette issue (les différentes façons de placer le premier 1 parmi les premier tirages) et chacun de ces tirages a une proba d'arriver de ^{m-2})
vu qu'il contient 
fois 1 et 
fois 0.
pour trouvertrablazar a écrit:
Avoir
Il y a donc
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: [Proba] Schéma de Bernoulli
par trablazar » 23 Sep 2018, 19:21
Ben314 a écrit:Là dedans :
Donc c'est lui qui va jouer le rôle de
Et ça montre que ton truc avec un dénominateur égal à
en appliquant
Oulah oui, je sais pas pourquoi mais j'ai calculé en partant du fait que
Ben314 a écrit:Sinon, de procéder comme ça :pour trouvertrablazar a écrit:
Avoir
Il y a donc
En effet au début je l'ai determiné comme ça, mais j'ai peur que cela ne suffise pas aux correcteurs ! Mais en effet c'est bien plus rapide et limpide...
En tout cas merci à vous Ben314, aviateur et LB2, vous êtes géniaux !
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