[Proba] Schéma de Bernoulli

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trablazar
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[Proba] Schéma de Bernoulli

par trablazar » 20 Sep 2018, 14:39

Bonjour,
Je suis bloqué sur un exercice de probabilités:

"Soit une suite de Bernoulli indépendante de paramètre p.
1) Soit le premier instant où 1 apparaît dans la suite des réalisations de . Déterminer la loi de .
Là c'est une loi géométrique,

2) Soit le premier instant après où 1 apparaît de nouveau. Montrer que et sont indépendantes et de même loi.
Je suis parti du principe que et sont indépendantes pour le démontrer, jusque là je pense que c'est OK.

3) Quelle est la loi de ?
Là je suis un peu bloqué. Peut-on dire que:
?



LB2
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Re: [Proba] Schéma de Bernoulli

par LB2 » 20 Sep 2018, 14:50

Bonjour,

je serais bien curieux de ta preuve de 2) ...
A ton avis, T1 et T2 sont indépendantes?
Autrement dit, l'information que T1 vaut 1, 10, 100, 1000 ne change pas la loi de T2?
Si l'on te dit : X1, X2, ....., X999 valent 0, et X1000 vaut 1, tu penses que T2 aura même loi que si X1 vaut 1 par exemple?

En revanche il est correct que T2-T1 et T1 sont indépendantes : c'est un processus sans mémoire en quelque sorte.

3) C'est bien ça, mais tu t'embrouilles dans les indices, la somme devrait se simplifier.

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Ben314
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Re: [Proba] Schéma de Bernoulli

par Ben314 » 20 Sep 2018, 15:35

Salut,
Et pour t'aider encore un peu plus, ça semble plus que judicieux de commencer par déterminer ce qu'on appelle pompeusement la "loi conjointe" du couple , c'est à dire en fait la valeur des
pour

Et c'est là qu'on va voir si, non seulement tu sait "par cœur" que est suit une loi géométrique, mais est-ce que tu sait aussi comment on procède pour le démontrer vu que là, c'est la preuve qu'il va falloir un peu modifier pour l'adapter à la nouvelle question.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

trablazar
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Re: [Proba] Schéma de Bernoulli

par trablazar » 20 Sep 2018, 17:56

Ah oui donc retour à la question 2 !
Il est vrai que je manque gravement de formalisme... Ma réponse pour la question consiste en un arbre binaire et j'y montre à coup de probabilités totales que T1 suit une loi géométrique...
Le problème est que je n'ai pas suivi de cours de probabilité depuis le Lycée, je suis donc un peu perdu !

Pour revenir à la question 2, je pose donc:

Je dis ensuite que l peut être décomposée avec k (et le nombre d'échecs après k sera appelé m). On a alors:



Et là, c'est le hic, je sais pas ce que j'ai le droit de faire sur cette expression pour la décomposer :gene:
J'ai envie de dire que T2 - T1 suit une loi géométrique totalement indépendantes de T1, dans le sens où ce serait en quelque sorte une loi géométrique qui "commence" au rang (au lieu de T1 qui "commence" à ). Comment puis-je le formaliser, ou comment puis-je décomposer la dernière expression ?

En tout cas merci pour vos réponses !


Edit: Au cas où j'ai le droit de dire que:

Alors je trouve

Encore faut-il que je puisse décomposer l'expression... Le problème c'est que cette décomposition est ce que j'ai à prouver

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Ben314
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Re: [Proba] Schéma de Bernoulli

par Ben314 » 20 Sep 2018, 18:07

Pour le moment, à part "tourner en rond", ce que tu écrit, ça ne conduit pas à grand chose.
Le fait d'avoir et , ça signifie quoi en terme de ?
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Re: [Proba] Schéma de Bernoulli

par trablazar » 20 Sep 2018, 20:16

Ok, je tiens peut-être quelque chose alors: (en posant l = k + m)



Puisque les Xn sont indépendants:


(pas 100% sûr de l'exposant du (1-p))
Du coup on retrouve bien:


Le problème c'est qu'en disant ça je sous entend que T2 - T1 suit une loi géométrique, sinon ce résultat n'a aucune valeur, non ?

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Re: [Proba] Schéma de Bernoulli

par aviateur » 21 Sep 2018, 00:52

Bonjour
Il y a la fin qui ne va pas et effectivement tu utilises la loi de alors que c'est ça qu'il faut chercher..
Mais d'abord il faut un peu plus de rigueur pour arriver au résultat.
Je vais commencer par un détail car pour moi c'est important malgré tout. Quand tu écris
il est préférable d'écrire avec des parenthèses ou crochets:

Ensuite plus important c'est de préciser ce que sont k et l (ici et .)
Donc ce qui est sûr c'est que tu as calculé correctement
p

Maintenant l'évènement c'est
dont la probabilité est
Il reste à calculer
à finir sans problème
Bon tu remarqueras que on n'a pas démontré (et utilisé) que et sont indépendantes. Tu pourras le faire pour finir quoique pour moi (voir aussi la remarque de LB2 c'est évident sans calculs).

trablazar
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Re: [Proba] Schéma de Bernoulli

par trablazar » 21 Sep 2018, 14:33

Oui en effet, j’essaierai à l'avenir de faire preuve de plus de formalisme.
Je n'aurais par ailleurs jamais pensé à poser .
Du coup en posant cette équation je retombe bien sur:

Donc de ce fait je peux affirmer que (T2 -T1) est une suite géométrique, donc en reprenant mon résultat précédent:
trablazar a écrit:


Ce qui termine de prouver l'indépendance, puisque


Enfin, pour la question 3 (Quelle est la loi de T2 ?):


Or T1 et (T2 - T1) sont indépendants, donc:




Voila voila, aucune loi que je reconnaisse ::d

Je peux donc accéder à la dernière question:
4) Notons An l’événement . La suite des événements est-elle indépendante ?

Je cherche donc à prouver (ou non) que:

En commencant avec :


Sachant que alors:

Evidemment,

Donc,

De plus, les Xn sont indépendants (Hallelujah):




Maintenant, pour :

J'ai bien envie de dire que , j'en suis sur mais je sais pas si il faut ajouter quelque chose !
Du coup:


Toujours avec la formule du dessus sur :

Encore une fois, la probabilité toute à droite est nulle, et les Xn sont indépendants, donc:


Donc j'en déduis que la suite des événements An n'est pas indépendante, car
Qu'en pensez-vous ? Y-a-t'il des endroits où j'aurais pu mieux formaliser ? Ai-je le "droit" de faire toutes ces équations ?

Merci :)
Modifié en dernier par trablazar le 22 Sep 2018, 12:55, modifié 1 fois.

aviateur
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Re: [Proba] Schéma de Bernoulli

par aviateur » 21 Sep 2018, 14:43

Bonjour
vite fait, en toute rigueur, pour la loi de tu dois vérifier si ton résultat est plausible.
C'est à dire est-ce que la somme des P(T_2=m) = 1.

Pour la nouvelle question j'ai regardé en gros.
Est ce que je peux mieux formaliser ? A mon avis ça va à ce niveau. Par ailleurs on comprend ce que tu fais et c'est une bonne chose.
Concernant ta démo " j'ai envie" de dire que Dans ce genre de situation je suis tout à fait d'accord. C'est un peu comme l'indépendance de et Ici on le démontre mais tout un chacun sait très bien que c'est le cas. Alors une démo est-elle nécessaire (pas forcément de mon point de vue).
Par contre il y a une erreur, c'est sûr, car en utilisant cela tu multiplie par 2 au lieu d'élever au carré.

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Re: [Proba] Schéma de Bernoulli

par trablazar » 21 Sep 2018, 15:55

Ah d'accord je note pour la loi de T2 ! Et oui en effet grossière erreur pour , ce qui donnerait du coup , donc toujours indépendants, l'un étant le carré de l'autre ! Merci pour tout, j'ai enfin compris l'exercice dans sa globalité (malgré quelques erreurs d'inattention habituelles...)

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Re: [Proba] Schéma de Bernoulli

par LB2 » 21 Sep 2018, 17:39

Si p=1/2, les évènements sont indépendants!

car p(A_n)=2p(1-p) et 1/4=1/2*1/2 (attention ton calcul est faux)

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Re: [Proba] Schéma de Bernoulli

par aviateur » 21 Sep 2018, 19:28

trablazar a écrit:Ah d'accord je note pour la loi de T2 !

Je ne suis pas sûr que tu as compris exactement ma remarque. En effet la première chose que je fais (pour moi même ou pour un autre c'est de contrôler le résultat) Pour une loi de proba, on vérifie si on a bien une proba.
Ici c'est pas le cas. Tu as fait une erreur pas grave mais il faut corriger.
Il faut aussi regarder la rem de Lb2

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Re: [Proba] Schéma de Bernoulli

par trablazar » 22 Sep 2018, 12:53

LB2 a écrit:Si p=1/2, les évènements sont indépendants!

car p(A_n)=2p(1-p) et 1/4=1/2*1/2 (attention ton calcul est faux)


Alors oui en effet, encore une fois j'ai pas vérifié ! Du coup on a bien
En résolvant pour p, j'obtiens en effet que c'est indépendant si et seulement si
Du coup ça me fait un peu questionner tout ça, parce que j'ai plus l'intuition que l'indépendance de deux événements est intrinsèque à leur nature, et pas dépendante de leur probabilité... J'ai du mal à me dire que deux événements peuvent ou non être indépendants en changeant seulement leur p !

aviateur a écrit:Je ne suis pas sûr que tu as compris exactement ma remarque. En effet la première chose que je fais (pour moi même ou pour un autre c'est de contrôler le résultat) Pour une loi de proba, on vérifie si on a bien une proba.
Ici c'est pas le cas. Tu as fait une erreur pas grave mais il faut corriger.

C'est à dire que j'ai essayé de poser mais à partir de là je n'ai aucune idée de comment résoudre...

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Re: [Proba] Schéma de Bernoulli

par aviateur » 22 Sep 2018, 13:04

Bonjour tu peux le mettre en facteur.
Ensuite tu utilises (obtenu par dérivation de )
Puis tu vas voir que cela ne fait pas 1, ce qui te permettras te corriger ton erreur (erreur d'exposant)

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Re: [Proba] Schéma de Bernoulli

par trablazar » 23 Sep 2018, 19:34

aviateur a écrit:Bonjour tu peux le mettre en facteur.
Ensuite tu utilises (obtenu par dérivation de )
Puis tu vas voir que cela ne fait pas 1, ce qui te permettras te corriger ton erreur (erreur d'exposant)


Ah oui en effet... Du coup je trouve que


Soit égal à 1 si p = 1... Du coup en effet y'a une erreur ! Pourtant en revérifiant je retrouve toujours ...

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Re: [Proba] Schéma de Bernoulli

par Ben314 » 23 Sep 2018, 20:03

Là dedans : , le truc qui est à une puissance variable, c'est le .
Donc c'est lui qui va jouer le rôle de dans la formule et donc
Et ça montre que ton truc avec un dénominateur égal à est totalement faux...


en appliquant à (qui est dans ]0,1[)
Modifié en dernier par Ben314 le 23 Sep 2018, 20:08, modifié 3 fois.
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Re: [Proba] Schéma de Bernoulli

par aviateur » 23 Sep 2018, 20:04

Bonjour
Bon je ne sais ce qu'il se passe, j'avais vu et non .
Et bien on trouve 1.
En effet

P.S je viens de voir le message de @ben qui complète donc ma remarque ici.

En conclusion c'était bon mais il faut vérifier.

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Re: [Proba] Schéma de Bernoulli

par Ben314 » 23 Sep 2018, 20:14

Sinon, de procéder comme ça :
trablazar a écrit:
pour trouver , c'est effectivement correct (et ça permet aussi de s'entrainer à faire des calculs), mais il y a quand même nettement plus simple (et plus évident) :
Avoir , ça veut dire que le tirage, c'est d'abord termes dont un et un seul 1, puis un deuxième 1 en -ième position (puis absolument n'importe quoi ensuite)
Il y a donc tirages (de de long) conduisant à cette issue (les différentes façons de placer le premier 1 parmi les premier tirages) et chacun de ces tirages a une proba d'arriver de vu qu'il contient fois 1 et fois 0.
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Re: [Proba] Schéma de Bernoulli

par trablazar » 23 Sep 2018, 21:21

Ben314 a écrit:Là dedans : , le truc qui est à une puissance variable, c'est le .
Donc c'est lui qui va jouer le rôle de dans la formule et donc
Et ça montre que ton truc avec un dénominateur égal à est totalement faux...


en appliquant à (qui est dans ]0,1[)


Oulah oui, je sais pas pourquoi mais j'ai calculé en partant du fait que !!! En effet ca change tout quand je prends la vraie formule :)

Ben314 a écrit:Sinon, de procéder comme ça :
trablazar a écrit:
pour trouver , c'est effectivement correct (et ça permet aussi de s'entrainer à faire des calculs), mais il y a quand même nettement plus simple (et plus évident) :
Avoir , ça veut dire que le tirage, c'est d'abord termes dont un et un seul 1, puis un deuxième 1 en -ième position (puis absolument n'importe quoi ensuite)
Il y a donc tirages (de de long) conduisant à cette issue (les différentes façons de placer le premier 1 parmi les premier tirages) et chacun de ces tirages a une proba d'arriver de vu qu'il contient fois 1 et fois 0.


En effet au début je l'ai determiné comme ça, mais j'ai peur que cela ne suffise pas aux correcteurs ! Mais en effet c'est bien plus rapide et limpide...

En tout cas merci à vous Ben314, aviateur et LB2, vous êtes géniaux !

 

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