Probabilités (schéma de Bernoulli) - Cartes à jouer

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s.wilks
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Probabilités (schéma de Bernoulli) - Cartes à jouer

par s.wilks » 04 Déc 2012, 00:21

Bonjour.

Je bute sur un problème de probabilités donc je me permets de vous le soumettre.

"Un paquet de 16 cartes est composé du valet, de la dame, du roi et de l'as de chaque couleur, c'est-à-dire pique, coeur, carreau et trèfle.
On tire une carte du paquet et on la remet dans le paquet après ce tirage.
On réalise l'expérience n fois et on suppose tous les tirages équiprobables.
Quelle est la probabilité pn d'obtenir au moins un coeur ?
Déterminer le plus petit entier n0 tel que pour tout entier n supérieur ou égal à n0, on ait: pn >= 0,99 ".

Voici mon raisonnement:
Soit qn la probabilité d'obtenir 0 coeur en n tirages.
Alors pn = 1 - qn.
Soit S l'événement "On tire un coeur" et S barre l'événement complémentaire.
Les tirages successifs sont indépendants.
On est dans le cadre d'un schéma de Bernoulli avec:
- r = 1/4 la probabilité de l'événement S
- n le nombre d'épreuves ou tirages successifs
La probabilité d'obtenir k = 0 succès (tirage coeur) en n épreuves est:

qn = nCk . r^(n-k) . (1-r)^k = nC0 . r^n . 1 = r^n = (1/4)^n

d'où pn = 1 - (1/4)^n

Pour la suite,
pn >= 0,99 1 - (1/4)^n >= 0,99 ln(0,01) >= - ln(4).n n >= 3,32
Donc n0 = 4.

Je ne suis pas très sûr de moi.
Merci pour vos commentaires.


s.wilks



cuati
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par cuati » 04 Déc 2012, 14:49

Bonjour,
peux-tu juste m'écrire combien vaut (en raisonnant simplement, sans utiliser la formule que tu as écrit) ? Et ensuite compare avec ce que tu as écrit "qn = (1/4)^n"

Sylviel
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par Sylviel » 04 Déc 2012, 15:15

en fait tu te mélanges les pinceaux entre S et son complémentaire...
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

cuati
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par cuati » 04 Déc 2012, 15:48

Sylviel a écrit:en fait tu te mélanges les pinceaux entre S et son complémentaire...

Oui, j'aurai préféré qu'il le remarque seul... d'où mon premier poste assez évasif...

s.wilks
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Probabilités (schéma de Bernoulli) - Cartes à jouer

par s.wilks » 04 Déc 2012, 21:19

Désolé Cuati, désolé Sylviel. Désolé de vous avoir fait perdre de votre temps avec ma question que vous trouvez apparemment absurde. Mais pour moi, elle n'était pas absurde. Merci de vous être donné la peine d'y répondre.

Je pense que q1 = 1/2, puis q2 = 1/4, ... et qn = (1/2)^n.

D'où pn = 1 - qn.
pn >= 0,99 n>= 6,64 donc n0 = 7.

Est-ce que c'est ça ?


s.wilks

cuati
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par cuati » 04 Déc 2012, 21:30

Bonsoir,
d'après ce que tu as toi même écrit, q1 est la probabilité d'obtenir aucun coeur au premier tirage...
donc q1 n'est certainement pas égal à 1/2 mais...

s.wilks
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Forum Probabilités (schéma de Bernoulli) - Cartes à jouer

par s.wilks » 04 Déc 2012, 21:52

Encore désolé.

Oméga = { ensemble des tirages } ; C = { ensemble des tirages avec au moins un coeur } ;
C barre = { ensemble des tirages avec 0 coeur }

Donc card (Oméga) = 16 ; card (C barre) = 12.

q(C barre) = card (Oméga) / card (C barre) = 12 / 16 = 3/4 ; q(C barre)^n = (3/4)^n

pn = 1 - q(C barre)^n = 1 - (3/4)^n

Application numérique:
pn >= 0,99 n >= 16,01 d'où n0 = 17.

Merci encore (notamment à Cuati).


s.wilks

cuati
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par cuati » 04 Déc 2012, 22:06

De rien, bonne continuation :lol3:

 

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