Démontrer ABCD parallélogramme avec produit scalaire

[zouzou8]

Bonjour le forum,

Je suis actuellement sur un exercice qui propose de démontrer la proposition suivante en utilisant le produit scalaire. Plusieurs questions s’enchaînent pour nous guider dans la démo.

Proposition :
Soient A, B, C et D quatre points de l'espace. On suppose que , et que :

alors ABCD est un parallélogramme.


La première question consiste à montrer les égalités :

et

Ok pour celle-là.


La seconde question consiste à montrer les égalités :

et

Ok pour celle-ci également.


La troisième question est celle où je bloque :
En combinant les deux relations de la question 2, montrer qu'on a :


J'imagine qu'il faut utiliser les membres de gauche des deux égalités de la question 2 et construire :

D'où :

Vu le résultat auquel on doit arriver, il suffirait de montrer que :

Mais je n'y parviens pas après plusieurs tentatives ...

En admettant le résultat de la question 3, aucun souci pour répondre aux trois dernières questions de l'exercice.

Merci beaucoup pour vos aides et astuces pour me lancer sur la bonne voie !

[aviateur]

Bonjour
Il faut utiliser la question 2. c'est sûr.

tu multiplies la première égalité par (\alpha-1) la deuxième égalité par (\beta -1) et tu fais la différence membre à membre. Normalement tu tombes sur l'égalité à démontrer à un facteur près; Effectivement tu as du degré 3 au départ et du degré 2 à l'arrivée, (j'entends par là par rapport aux scalaires en jeu )
J'ai pas fait le calcul mais je vois pas pourquoi cela ne marcherait pas.

[zouzou8]

Super, c'est tout bon

J'ai multiplié la première égalité par et la seconde par . Cela permet de faire disparaître les produits scalaires lorsqu'on égalise les membres de gauche. Après, c'est une question de factorisation et de simplification pour arriver sur la réponse !

Merci Aviateur

[aviateur]

Bonjour
Pas de problème. Tu peux revenir sur le forum quand tu veux, il y aura toujours quelqu'un qui pourra t'aider.
De plus j'aime bien quand la question est bien posée et que le posteur a montré qu'il (ou elle) a cherché.

[Pseuda]

Proposition :
Soient A, B, C et D quatre points de l'espace. On suppose que , et que :

alors ABCD est un parallélogramme.

Bonsoir,

Par contre, ceci est faux ??? Les points A, B, C et D sont coplanaires, AB=DC, mais cela ne suffit pas à faire un parallélogramme.

[Ben314]

Par contre, ceci est faux ??? Les points A, B, C et D sont coplanaires, AB=DC, mais cela ne suffit pas à faire un parallélogramme.

Vu le résultat demandé à question 2)b) (déjà traitée), zouzou8 à clairement oublié de recopier l'énoncé complet qui devait être "On suppose que AB=DC, que AD=BC et que ..."

[aviateur]

Mais AD=BC elle l'a écrit?

[Pseuda]

C'est d'autant plus bizarre qu'il me semblait avoir vu sur portable qu'il y avait aussi : AD=BC.

[aviateur]

Ha bon, on peut voir des choses différentes!!

[Ben314]

En fait, il y a un bug MimeTeX : si on le "cite", le post contient bien [tex]AD=BC[/tex], mais.. rien ne s'affiche.

[Ben314]

[Ben314]

Étonnant, non ?

[aviateur]

En tout cas sans rien faire je vois AD=BC.

[Ben314]

Moi je vois rien (avec Ubuntu + Firefox)

[Pseuda]

Je confirme : sur téléphone, on voit bien : AB=DC et AD=BC, et sur ordi, on ne voit que : AB=DC.

D'ailleurs, si on regarde bien l'écran de l'ordi à l'affichage du fil, on voit qu'il y a un truc bizarre au niveau du AB=DC.

[aviateur]

Non il n' y rien de bizarre. Il y a peut être une tache blanche à cette endroit de l'écran de ton ordi .

[zouzou8]

Bonsoir tout le monde,

Alors, voici la proposition telle qu'elle est dans l'énoncé de l'exercice, à la virgule près (j'ai vérifié 10 fois ^^), mais sans l'éditeur TEX pour la partie qui pose problème (je l'ai surligné) :

Proposition :
Soient A, B, C et D quatre points de l'espace. On suppose que AB=DC, AD=BC et que :

alors ABCD est un parallélogramme.

Donc, la conjecture de Ben314 est vérifiée (à un "que" près). D'ailleurs, c'est pratique que tu saches compléter les énoncés qui ne s'affichent que partiellement
Pour Pseuda, sur mon PC, je vois à la fois AB=DC et AD=BC ; idem sur mon smartphone. Mais je ne suis pas sous Ubuntu. Je suis sous Windows + Chrome.

[Pseuda]

Je suis sur Windows + Firefox.

[Pseuda]

Effectivement, en citant le message, il apparaît bien les 2. C'est un bug du Latex par rapport au Firefox : Ben314 a aussi Firefox et le même bug.

[zouzou8]

ok. Bon, mystère
En tout cas, avec cette condition supplémentaire (AD=BC), c'est bon pour la démo selon toi ?
Merci !