Dérivée vectorielle complexe

[zizzou]

Bonjour,

J'aimerais calculer la dérivée de par rapport à sachant que est un matrice carrée à valeurs complexe et un vecteur colonne à valeur complexe lui aussi, le tout étant donc un scalaire.

Je trouve la réponse suivante mais elle semble fausse :



où le symbole est le complexe conjugué, est le transposé hermitien et la transposée normale.

Si on prend le cas réel on retombe bien sur la définition dont je suis sûr :




Merci à qui pourra m'éclairer.

[jose_latino]

On a la fonction , définie par . Alors . N'oublie pas que les fonctions et sont linéaires. C'est ça la dérivé réelle. Il n'y a pas de dérivé complexe, la fonction n'as pas de dérivée complexe.

[jose_latino]

Si tu veux la dérivé réelle exprimée seulement en utilisant lest réelles, il faut utiliser la règle de la chaîne sur la fonction définie par , sa dérivée est la même fonction car la fonction est linéaire (linéaire), c'est la même chose par l'autre fonction . La dérivée réelle est la dérivé de , donc

[yos]

Ayant développé U(x+h), je trouve , et je ne vois pas comment le réduire simplement. D'ailleurs le cas réel ne me semble pas donner ta formule. En résumé, il est possible que je raconte des conneries. Je regarderai de plus près si j'ai le temps.

[jose_latino]

,
il faut écrire , remplacer et séparer les parties réelles et imaginaires. :++:

[zizzou]

Merci pour vos réponse.

Les solutions que vous me donnez donnent des dérivées scalaires me semble-t-il. En fait je me suis mal exprimé. Je cherche le gradiant de la fonction . Il faut donc trouver les dérivées partielles de par rapport à chacune des composantes de . Le problème général étant de trouvez les extrema d'une telle fonction.

[jose_latino]

Yos et moi, nous t'avons donné des les dérivés, mais elles ne sont pas de fonctionelles linéaires (donc il n'y a pas de gradient), elles sont de applications linéaires de vers .

,
il faut écrire , remplacer et séparer les parties réelles et imaginaires. :++:

Heureusement, il existe le MAPLE :lol2:. Si tu veux les gradients des parties réelle et imaginaire, exprimer chaque terme de la forme ou , la somme des tous les termes à la gauche de a ou b donnent le gradient de chaque composante. Bon courage :zen:

[jose_latino]

Merci pour vos réponse.

Les solutions que vous me donnez donnent des dérivées scalaires me semble-t-il. En fait je me suis mal exprimé. Je cherche le gradiant de la fonction . Il faut donc trouver les dérivées partielles de par rapport à chacune des composantes de . Le problème général étant de trouvez les extrema d'une telle fonction.

Je me suis amusé un petit peu avec l'utilisation du MAPLE :dingue:. Mais tu cherches vraiment étudier la fonction ou , alors

[zizzou]

Est-ce que plus simplement il est correct d'écrire :



où le vecteur , avec

[jose_latino]

Merci pour vos réponse.

Les solutions que vous me donnez donnent des dérivées scalaires me semble-t-il. En fait je me suis mal exprimé. Je cherche le gradiant de la fonction . Il faut donc trouver les dérivées partielles de par rapport à chacune des composantes de . Le problème général étant de trouvez les extrema d'une telle fonction.

Mais je préfère d'utiliser des méthodes de l'algèbre linéaire:
alors, il suffit de prendre les autovecteurs.

[yos]

La différentielle DU(x) que j'ai calculé est une application linéaire de C^n dans C. Sa matrice est d'ordre nX1. C'est ça le vecteur gradient. Enfin je crois. Je me rends compte que je n'ai plus fait de différentielles depuis longtemps.