Continuité

par **Anae** » 23 Oct 2006, 19:01

Pouvez vous m'aidez pour une question en analyse, s'il vous plait.

Soit C l'espace vectoriel des application continues de R+ dans R.
Soit f un élément de C. Montrer ques l'application g définie par :
g(0)=f(0)
et pour tout x >0 g(x)=(1/x)*l'unique primitive de f qui s'annule en 0 est un élement de C.

Merci d'avance.
Anae

par **tize** » 23 Oct 2006, 19:14

il ne reste qu'à vérifier que g(x) -> 0 quand x->0 non ?

par **Anae** » 23 Oct 2006, 19:26

oui par prolongement par continuité, mais comment faire ca?

par **drazala** » 23 Oct 2006, 19:35

pour calculer g(x)-g(0) =

.
L'idée est de constater

de regrouper les deux intégrales et d'utiliser alors la continuité de f en 0.

drazala

par **panoramix** » 23 Oct 2006, 19:39

Salut,

f est continue sur [0; +inf[ donc f admet une primitive F quelconque sur [0; +inf[
Donc,

Donc,

par **Anae** » 23 Oct 2006, 20:07

Merci beaucoup!!! j'avais pas penser a la définition pour trouver F'(x)
Bisous
Anae

par **Anae** » 23 Oct 2006, 21:26

Pouvez vous m'aider pour une autre question, s'il vous plait?

C l'espace vectoriel des applications continues de R+ dans R.

H : C -> C
pour H(f)(0)=f(0) et pour tout x>0, H(f)(x)= (1/x)*l'unique primitive de f s'annulant en 0

(1) f appartient a C, montrer que H(f) est continuement dérivable sur R+*
(2) H est-elle injective? est-elle surjective?

Merci d'avance
Anae

par **tize** » 23 Oct 2006, 22:24

,

est donc bien continuement dérivable sur

comme produit de 2 fonctions

sur

Concernant la surjectivité :
si

, dire qu'il existe

tq

revient à dire que

et donc

est nécessairement dérivable ce qui n'est pas le cas de tout élément de

...

Concernant l'injectivité :
Si H(f)=H(g) alors

et donc :

pour tout

on peut donc en déduire que l'intégrale de

est nulle sur tout intervalle de

et donc ...

par **Anae** » 23 Oct 2006, 22:43

:) merci beaucoup
Anae

par **panoramix** » 23 Oct 2006, 22:58

On remarque que H(f) = g

(1) H(f) donc g est le produit de deux fonctions continument dérivables sur R+*, donc il doit exister un théorème (à vérifier) qui conclue

(2)
injectivité :
soit g1 = g2
pour tout x, F1(x)-F1(0) = F2(x)-F2(0)
donc en dérivant : pour tout x, f1(x) = f2(x)
soit f1 = f2
donc H est injective

surjectivité :
Soit g continue sur R+ mais pas dérivable sur R+*. Dans ce cas, il n'existe pas de f tel que H(f) = g car sinon, g serait dérivable (contraposée de (1))
Donc H n'est pas surjective

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