Continuité
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Anae
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par Anae » 23 Oct 2006, 20:01
Pouvez vous m'aidez pour une question en analyse, s'il vous plait.
Soit C l'espace vectoriel des application continues de R+ dans R.
Soit f un élément de C. Montrer ques l'application g définie par :
g(0)=f(0)
et pour tout x >0 g(x)=(1/x)*l'unique primitive de f qui s'annule en 0 est un élement de C.
Merci d'avance.
Anae
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tize
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par tize » 23 Oct 2006, 20:14
il ne reste qu'à vérifier que g(x) -> 0 quand x->0 non ?
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Anae
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par Anae » 23 Oct 2006, 20:26
oui par prolongement par continuité, mais comment faire ca?
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drazala
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par drazala » 23 Oct 2006, 20:35
pour calculer g(x)-g(0) =
.
L'idée est de constater
de regrouper les deux intégrales et d'utiliser alors la continuité de f en 0.
drazala
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panoramix
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par panoramix » 23 Oct 2006, 20:39
Salut,
f est continue sur [0; +inf[ donc f admet une primitive F quelconque sur [0; +inf[
Donc,
Donc,
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Anae
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par Anae » 23 Oct 2006, 21:07
Merci beaucoup!!! j'avais pas penser a la définition pour trouver F'(x)
Bisous
Anae
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Anae
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par Anae » 23 Oct 2006, 22:26
Pouvez vous m'aider pour une autre question, s'il vous plait?
C l'espace vectoriel des applications continues de R+ dans R.
H : C -> C
pour H(f)(0)=f(0) et pour tout x>0, H(f)(x)= (1/x)*l'unique primitive de f s'annulant en 0
(1) f appartient a C, montrer que H(f) est continuement dérivable sur R+*
(2) H est-elle injective? est-elle surjective?
Merci d'avance
Anae
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tize
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par tize » 23 Oct 2006, 23:24
,
est donc bien continuement dérivable sur
comme produit de 2 fonctions
sur
Concernant la surjectivité :
si
, dire qu'il existe
tq
revient à dire que
et donc
est nécessairement dérivable ce qui n'est pas le cas de tout élément de
...
Concernant l'injectivité :
Si H(f)=H(g) alors
et donc :
pour tout
on peut donc en déduire que l'intégrale de
est nulle sur tout intervalle de
et donc ...
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Anae
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par Anae » 23 Oct 2006, 23:43
:) merci beaucoup
Anae
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panoramix
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par panoramix » 23 Oct 2006, 23:58
On remarque que H(f) = g
(1) H(f) donc g est le produit de deux fonctions continument dérivables sur R+*, donc il doit exister un théorème (à vérifier) qui conclue
(2)
injectivité :
soit g1 = g2
pour tout x, F1(x)-F1(0) = F2(x)-F2(0)
donc en dérivant : pour tout x, f1(x) = f2(x)
soit f1 = f2
donc H est injective
surjectivité :
Soit g continue sur R+ mais pas dérivable sur R+*. Dans ce cas, il n'existe pas de f tel que H(f) = g car sinon, g serait dérivable (contraposée de (1))
Donc H n'est pas surjective
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