Aide pour somme et combinatoire

[RitCh]

Bonjour ! J'aurais besoin d'aide pour démontrer 2 formules. En premier lieu on me demandais de démontrer ceci :
;)(de k=1 à n) k*(combinaison de K dans n) = n*2^(n-1)
par le binome de newton jai posé:
(a+b)^n = ;)(de k=0 à n) (combinaison de K dans n)*a^(n-k) * b^k
je pose a = 1 --> (b+1)^n = ;)(de k=1 à n) (combinaison de K dans n)* b^k
je derive par rapport à b -->n*(b+1)^(n-1) = ;)(de k=1 à n) k*(combinaison de K dans n)* b^(k-1)
je pose b=1 --> n*2^(n-1) = ;)(de k=1 à n) k*(combinaison de K dans n)
cqfd
Maintenant je ne sais pas comment faire pour démontrer les 2 formules suivantes. En fait, lorsque je derive une 2e fois mon identité par rapport à b avant de poser b=1, j'arrive à n*(n-1)*2^(n-2) au lieu de la repose que je dois obtenir :hum: Voici les formules que je ne suis pas capable de démontrer.
1. ;)(de k=1 à n) k^2 *(combinaison de K dans n) = n*(n+1)*2^(n-2) :hum:
et
2.;)(de k=1 à n) k^3 *(combinaison de K dans n) = n^2*(n+3)*2^(n-3)
:hum:

P.S. Est-ce que quelqu'un pourrait me donner un site ou une facon de pourvoir ecrire les symboles mathématiques...un quelconque language ou je ne sais quoi qui serait beaucoup plus simple à ecrire et beaucoup plus plaisant à lire que ce que je viens de faire.

MERCI BEAUCOUP DE VOTRE AIDE !!!!! :happy2:

[Roman]

Bonjour,

RitCh, tu es pourtant tout pres du but !!!

Tu emploies la bonne methode, mais n'oublie pas que si tu as d'un cote de ton egalite n*(n-1)*2^(n-2), tu n'as pas non plus ce qu'il te faut de l'autre cote de ton inegalite, puisque tu as du k*(k-1)*C(n,k).

Essaye donc de developper ta somme de k*(k-1)*C(n,k), tu verras que tu retomberas sur tes pieds !

Roman

[tize]

Bonjour Ritch,
tu peux bien sur utiliser la même méthode que celle indiquée par Roman pour faire la dernière somme...
en ce qui concerne les symbole mathématiques, beaucoup de lien ont déjà été donné, comme celui-ci par exemple. Tu dois mettre ces formules entre des balises TEX (surligne les formule et clique sur TEX quand tu rédiges tes messages)

[RitCh]

J'ai tenté de dévelloper ma somme, mais je ne vois vraiment pas comment je pourrais faire pour que mon n*(n-1)*2^(n-2) devienne n*(n+1)*2^(n+2)
Je ne vois pas le lien avec le k*(k-1)*C(n,k) :cry:
Est-ce que quelqu'un pourrait m'en dire plus SVP ce serait extrèmement apprécié !!!
MERCI BEAUCOUP

P.S. est-ce qu'il est possible d'utiliser le language TEX dans WORD ou dans EXCEL ?? Si non, en existe-il un compatible avec ces logiciel ???

[RitCh]

j'essaie encore et encore mais je ne trouve pas :cry: :cry: :cry:
Faites moi un dessin quelqu'un svp haha je suis désespéré

MERCI

[Roman]

RitCh, n'oublie pas que:

k*(k-1)*C(n,k) = k^2*C(n,k) - k*C(n,k)

...

Roman

[nyafai]

salut

Je me me mêle à vos affaires juste pour proposer une autre méthode

En fait tu peux montrer facilement que k*C(n)(k) = n*C(n-1)(k-1) (endéveloppant le C(n)(k) avec les factorielles)

et ensuite tu as juste à utiliser que
2^n = ;)(de k=0 à n)C(n)(k) (par le binôme de Newton)

pour montrer la première question (je pense que c'est plus simple que ta méthode de dérivation)

ensuite pour démontrer les autres, il faut faire : k²=k*(k-1) +k et k^3=k*(k-1)*(k-2)+3k²+2k pour te ramener au premier cas

voila je sais pas si tu auras le courage de changer de méthode mais comme celle-ci marche puisque je l'ai déja fait

bonne chance :we:

[RitCh]

Merci beaucoup pour votre aide.!!!!!! Probleme résolu. :zen: