Somme des kx^k et somme double

[laurafr13]

Voici l'énoncé complet du problème:

Pour x un réel différent de 1 et n appartient à N*, on considère la somme

Sn=

que l'on se propose de calculer de différentes façons.

1. Première méthode

On pose fn=

Rappeler la valeur de fn(x) et en déduire la valeur de Sn(x).

Je trouve donc ici Sn(x)=(n - n - + x)/

2. Deuxième méthode

Exprimer de deux façons différentes Sn+1(x) en fonction de Sn(x).
Retrouver ainsi la valeur de Sn(x).

Je trouve ici le même résultat (heureusement!):

Sn(x)=(n - n - + x)/.

3. Troisième méthode

Justifier l'égalité Sn(x)=

Pour justifier, j'y suis arrivée, j'ai dit que:


=
,en clair, la décomposition d'une somme double en le produit de deux sommes simples.

D'où
=
=Sn(x).

Cependant, après ca,je ne sais pas comment faire pour retrouver la valeur de Sn(x) à partir de la somme double.

Merci d'avance, Laura.

[duchere]

Tu devrais utiliser LATEX pour écrire tes formules, tu aurais plus de réponses ! ;-)

[laurafr13]

je sais, mais c'est assez urgent comme exercice, et vu que ce n'est pas le seul, je n'ai pas vraiment le temps de comprendre comprendre latex marche et de retaper tout le problème

[fahr451]

bonjour
erreur dans l 'énoncé de la méthode 3 (latex pas parvenu jusqu'à moi ou l 'inverse)

Sn(x) = somme ( k = 1 , ..., n) de somme (j = 1,...,k ) x^k

en permutant les sigma on a

Sn (x) = somme (j = 1 , n ) somme (k = j, ...,n) x^k

Sn (x) = somme (j = 1 , ...,n) [x^j - x^(n+1) ]/(1-x)

et resommer

[laurafr13]

Merci beaucoup pour cette réponse, mais à vrai dire je n'ai pas compris comment on passe d'une étape à l'autre, ce serait possible de plus détailler? merci beaucoup!

[fahr451]

ce sont les bornes qui posent problème ?

[laurafr13]

oui, les bornes, et l'expression dans la dernière somme

[laurafr13]

j'ai enfin compris oui; par contre, une fois arrivé à la dernière somme, comment je fais pour "ressommer"? je veux dire, c'est quoi la somme de (x^j-x^(n+1))/(x-1)^2 ??

[fahr451]

rem ce n 'est pas (x-1)^2 mais (1-x)

on met en facteur 1/(1-x) constant
on sépare en deux on a

somme sur j des x^j = (1-x^(n+1) ) /(1-x)

somme sur j de x^n = nx^n puisqu'on somme une constante

[laurafr13]

ok, merci beaucoup!

[laurafr13]

ca ne marche pas, je ne trouve pas la meme réponse qu'aux deux méthodes précédentes

[fahr451]

tite coquille ds mon mess précédent

la deuxième somme c 'est

sigma x^(n+1) = nx^(n+1)

[laurafr13]

oui, j'ai corrigé de moi meme à l'écrit,mais je ne trouve toujours pas le bon résultat

[fahr451]

on va y arriver


la première des deux sommes est pour j = 1 à n ( et non j = 0 à n)

donc elle vaut


(x- x^(n+1) ) /(1-x)

[laurafr13]

et ca ne done tjrs pas le bon résultat... :cry:
en tous cas, merci beaucoup

[fahr451]

ah si !!!!!!!!!



je viens de faire le calcul

[laurafr13]

ca donne (nx^(n+2) + x^(n+2) + x^2 - nx^(n+1) - x^(n+1) - x)/(x-1)^2

[laurafr13]

tu pourrais me donner le détail du calcul stp??j'ai du faire une erreur, et je vois pas ou

[laurafr13]

alors, c'est possible? parce que la j'ai beau recommencer le calcul, je ne trouve pas?

[laurafr13]

j'ai trouvé! merci beaucoup