Terminale S : Nombres complexes

par **Bouboul** » 05 Oct 2006, 16:57

Bonjour,
Pouvais-vous m'aider, je bloque sur cette question.

On considère dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation (E) d'inconnu z:
z^3 + (-8+i)z² + (17-8i)z + 17i = 0

Démontrer que (E) a une solution imaginaire pur.

Merci d'avance

par **Imod** » 05 Oct 2006, 17:01

Peut-être en étudiant les variations de la fonction sur R ?

Imod

par **Imod** » 05 Oct 2006, 17:03

:briques: je n'ai rien dit .

Imod

par **fonfon** » 05 Oct 2006, 17:07

Salut, je pense que tu sais comment s'ecrit un imaginaire pur, si oui tu peux chercher une racine simple de l'equation

par **Bouboul** » 05 Oct 2006, 17:11

Bonsoir, merci de vos réponses.

Je dois remplacer z par (iy) ? et chercher la valeur de y ?

par **Imod** » 05 Oct 2006, 17:12

Oui tu remplaces z par iy et tu verras , tout se passe bien .

Imod

par **Bouboul** » 05 Oct 2006, 17:25

Re-Bonsoir,

Je me retrouve bloqué a ce stade de l'équation:

(-y)^3 + y²(8-i) + y(17i + 8) = -17i

Comment puis-je factoriser y ? Merci

par **Imod** » 05 Oct 2006, 17:30

Sépare les parties réelles et imaginaires .

Imod

par **fonfon** » 05 Oct 2006, 17:32

Re, il doit manquer un i ds (-y^3) c'est (-iy^3)

A+

par **Bouboul** » 05 Oct 2006, 17:41

Merci a tout les 2: je trouve:

8y(1+y) + i(-y^3-y²+12y+17) = 0

Je ne comprend toujours pas, je dois calculer:
8y(1+y) = 0
et -y^3-y²+12y+17 = 0

?
Merci

par **Imod** » 05 Oct 2006, 17:45

Tu n'arrives pas à extraire y de tes équations :doh:

Imod

par **Bouboul** » 05 Oct 2006, 17:57

Ben oui, :briques:
Le y^3 et y² vont m'obliger a frationner, ca ne m'avancera à rien...
Par ou dois-je comment commencer svp? Merci

par **fonfon** » 05 Oct 2006, 18:18

Re,

bouboul a écrit:8y(1+y) + i(-y^3-y²+12y+17) = 0

Je ne comprend toujours pas, je dois calculer:
8y(1+y) = 0
et -y^3-y²+12y+17 = 0

je crois que tu as fait une erreur

c'est

tu verras ça changera ton calcul...

par **Bouboul** » 05 Oct 2006, 18:45

Merci de vos réponses:
Grace a vos conseils et indices précieux... :briques:
Voici ce j'ai fini par trouver:

8y(1+y) + i( -y²(1+y) + 17(1+y)) = 0
Soit

8y(1+y) + i(1+y)(-y²+17)) =0

(1+y)(8y + i -y² +17) = 0

Donc y = -1
donc z = (-1)i = -i

Est-ce correcte ?
Dans tous les cas merci pour votre aide.

par **fonfon** » 05 Oct 2006, 18:52

Re,

8y(1+y) + i(1+y)(-y²+17)) =0

(1+y)(8y + i -y² +17) = 0

Donc y = -1
donc z = (-1)i = -i

à partir d'ici moi je redigerais qu'un nombre complexe est nul ssi sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles donc

8y(1+y)=0 y=0 ou y=-1
(1+y)(-y+17)=0 y=-1 ou y=+ou-V17

tu constates que -1 marche donc z=-i est une solution imaginaire pur de l'equation (E)

par **Bouboul** » 05 Oct 2006, 18:57

D'accord, je vais adopter votre rédaction. Merci beaucoup :we:

par **fonfon** » 05 Oct 2006, 19:10

re, finallement tu pourrais essayer de verifier si ça marche avec les autres solutions mais ds l'ennoncé on te dit de montrer que (E) a 1 solution imaginaire pur donc comme ça marche pour y=-1 on peut s'arrêter là

A+

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