Exo terminale S nombres complexes

[calliste1998]

Bonjour,

Je suis en terminale S et j'ai eu récemment un DM avec un exercice qui porte sur les nombres complexes. Problème, je n'arrive pas du tout à démarrer, car je ne comprends même pas la consigne. Voici l'énoncé :

On considère, dans l'ensemble des nombres complexes, le polynôme f(z) d'inconnue z :
f(z) = z³ + (-8+i)z² +(17-8i)z + 17i

Vérifier que -i est une solution de l'équation f(z) = 0
Déterminer deux réels a et b tels que : f(z) = (z+i) (z²+ az +b)
Résoudre l'équation f(z) = 0 dans .

Voilà j'ai fait des pages et des pages de calculs en remplaçant le z par (-i) , j'ai essayé de faire des systèmes, etc, mais là je suis à cours d'idée. Je ne suis même pas sûre d'avoir compris la consigne et je ne sais pas réellement ce que je suis supposée obtenir comme résultat.

Merci d'avance
C.

[WillyCagnes]

bjr
f(z) = z³ + (-8+i)z² +(17-8i)z + 17i

tu pose z=-i et fais ton calcul , f(-i)=?
rappel i²=-1
i^3=-i

[calliste1998]

bjr
f(z) = z³ + (-8+i)z² +(17-8i)z + 17i

tu pose z=-i et fais ton calcul , f(-i)=?
rappel i²=-1
i^3=-i

Bonsoir,
Merci de ta réponse. J'ai fait le calcul en remplaçant z par -i, et j'ai écrit que (-i)^3 = i , mais je ne sais pas si c'est bon ?

Dans tous les cas, avec (-i)^3 = i, je trouve "2i-16" et si je pose que (-i)^3 = -i, alors je trouve -16. Dans les deux cas, je ne sais pas si c'est bon, car je ne sais même pas ce que je suis supposée trouver ? Je dois obtenir zéro ?

Voici mes calculs :

f(-i) = (-i)³ + (-8+i) (-i)² + (17-8i) (-i) + 17i
f(-i) = -i + (-8+i) (1) + (17-8i) (-i) + 17i
f(-i) = -i -8 +i - 17i -8i (-i) + 17i
f(-i) = -8 - 8i(-i)
f(-i) = -8 + 8i²
f(-i) = -8 + 8*(-1)
f(-i) = -8 -8
f(-i) = -16

Comme tu peux le constater je détaille toujours beaucoup afin de ne pas me tromper, mais là j'ai beau refaire encore et encore le calcul je trouve toujours ce résultat. Je n'arrive pas à obtenir zéro :/

[Sake]

Salut,

Bonsoir,
Merci de ta réponse. J'ai fait le calcul en remplaçant z par -i, et j'ai écrit que (-i)^3 = i , mais je ne sais pas si c'est bon ?

Oui, c'est bon.

Dans tous les cas, avec (-i)^3 = i, je trouve "2i-16" et si je pose que (-i)^3 = -i, alors je trouve -16. Dans les deux cas, je ne sais pas si c'est bon, car je ne sais même pas ce que je suis supposée trouver ? Je dois obtenir zéro ?

Oui, tu dois obtenir 0. Fais le calcul doucement, calmement, quitte à détailler chaque multiplication par -1 ou par i.

[mathelot]

bonsoir,
en remplaçant , on trouve f(-i)=0.

soit P un polynome et a un complexe. la division euclidienne donne l'équivalence des propriétés

P(a)=0
P est divisible par x-a

Comme on ne dispose pas de la division euclidienne, on cherche le quotient
avec des coefficients inconnus:

[calliste1998]

Salut,

Oui, c'est bon.

Oui, tu dois obtenir 0. Fais le calcul doucement, calmement, quitte à détailler chaque multiplication par -1 ou par i.

Salut,
Merci beaucoup, je viens de refaire le calcul avec (-i)³ = i

Voilà ce que j'ai :

f(-i) = (-i)³ + (-8+i) (-i)² + (17-8i) (-i) + 17i
f(-i) = i + (-8+i) (1) + (17 -8i) (-i) + 17i
f(-i) = i -8 +i - 17i +8i² +17i
f(-i) = 2i -8 + 8i²
f(-i) = 2i -8 -8
f(-i) = 2i - 16

Je ne comprends pas où est l'erreur :/

[Sake]

Salut,
Merci beaucoup, je viens de refaire le calcul avec (-i)³ = i

Voilà ce que j'ai :

f(-i) = (-i)³ + (-8+i) (-i)² + (17-8i) (-i) + 17i
f(-i) = i + (-8+i) (1) + (17 -8i) (-i) + 17i
f(-i) = i -8 +i - 17i +8i² +17i
f(-i) = 2i -8 + 8i²
f(-i) = 2i -8 -8
f(-i) = 2i - 16

Je ne comprends pas où est l'erreur :/

A la deuxième ligne. Je l'ai signalé en rouge.

[calliste1998]

A la deuxième ligne. Je l'ai signalé en rouge.

Je ne comprends pas pourquoi ? Etant donné que i² = -1, (-i)² = 1 non?

[Sake]

Je ne comprends pas pourquoi ? Etant donné que i² = -1, (-i)² = 1 non?

Aïe, non ! Le signe "-" revient à une multiplication par -1 au sein de la parenthèse. Ainsi, (-i)² = ((-1)*i)² = i²*(-1)² = i²

De manière générale, pour tout scalaire a dans le corps des réels ou des complexes (muni de la loi interne multiplicative), on a (-a)² = a²

[calliste1998]

Aïe, non ! Le signe "-" revient à une multiplication par -1 au sein de la parenthèse. Ainsi, (-i)² = ((-1)*i)² = i²*(-1)² = i²

De manière générale, pour tout scalaire a dans le corps des réels ou des complexes (muni de la loi interne multiplicative), on a (-a)² = a²

Aaah, d'accord ! Je comprends pourquoi je me trompe depuis le début. Merci beaucoup de ton aide, tes explications et ta patience !

Je vais essayer de faire la question 2) seule, mais je pense que je vais sûrement redemander de l'aide rapidement, je ne suis pas très douée en maths ... Si j'ai bien compris, je dois réussir à trouver les réels A et B, pour que l'équation soit vraie ? Mais je dois commencer "comment" ?

(J'ai de grosses lacunes en maths car j'ai été hospitalisée très longtemps pendant mon année de 1èreS. Par chance, j'avais un très bon niveau dans toutes les matières, y compris physique et SVT, alors malgré ma très forte chute en maths, je suis passée en terminale sans soucis avec 16.5 de moyenne, mais les maths là , ça pêche ...)

[Sake]

Aaah, d'accord ! Je comprends pourquoi je me trompe depuis le début. Merci beaucoup de ton aide, tes explications et ta patience !

Je vais essayer de faire la question 2) seule, mais je pense que je vais sûrement redemander de l'aide rapidement, je ne suis pas très douée en maths ... Si j'ai bien compris, je dois réussir à trouver les réels A et B, pour que l'équation soit vraie ? Mais je dois commencer "comment" ?

(J'ai de grosses lacunes en maths car j'ai été hospitalisée très longtemps pendant mon année de 1èreS. Par chance, j'avais un très bon niveau dans toutes les matières, y compris physique et SVT, alors malgré ma très forte chute en maths, je suis passée en terminale sans soucis avec 16.5 de moyenne, mais les maths là , ça pêche ...)

Il n'y a pas de problème. Comme on dit, "lege, lege, relege, ora, labora et invenies" ! Avec un peu de persévérance, tu reprendras les bons acquis.

De tête, il faut que tu développes l'expression proposée, que tu identifies a, b et c à l'aide de trois équations à trois inconnues, et que tu résolves le système.

PS : Si je devais me faire plus clair, ce serait plutôt "développe l'expression proposée, identifie les coefficients de chaque monôme, et résous le système 3*3 que tu trouves"

[calliste1998]

Il n'y a pas de problème. Comme on dit, "lege, lege, relege, ora, labora et invenies" ! Avec un peu de persévérance, tu reprendras les bons acquis.

De tête, il faut que tu développes l'expression proposée, que tu identifies a, b et c à l'aide de trois équations à trois inconnues, et que tu résolves le système.

PS : Si je devais me faire plus clair, ce serait plutôt "développe l'expression proposée, identifie les coefficients de chaque monôme, et résous le système 3*3 que tu trouves"

Je vois, mais ... Comment je développe ça ? Je viens d'essayer avec la double distributivité, mais j'obtiens un truc impossible, j'ai dû me tromper quelque part ... Désolée avec toutes mes questions xD

[Sake]

Je vois, mais ... Comment je développe ça ? Je viens d'essayer avec la double distributivité, mais j'obtiens un truc impossible, j'ai dû me tromper quelque part ... Désolée avec toutes mes questions xD

Oui, c'est ça, la double distributivité. On multiplie chaque terme du facteur de droite par z, puis on passe à i.

exemple : (a+b)(c+d+e) = a(c+d+e) + b(c+d+e) = ac + ad + ae + bc + bd + be

Ici, il est judicieux, après développement, de rassembler les termes en entre eux, les termes en entre eux, etc. On pourra donc identifier les coefficients associés à ces termes en fonction de a, b et c.

[calliste1998]

Oui, c'est ça, la double distributivité. On multiplie chaque terme du facteur de droite par z, puis on passe à i.

exemple : (a+b)(c+d+e) = a(c+d+e) + b(c+d+e) = ac + ad + ae + bc + bd + be

Ici, il est judicieux, après développement, de rassembler les termes en entre eux, les termes en entre eux, etc. On pourra donc identifier les coefficients associés à ces termes en fonction de a, b et c.

Du coup, j'obtiens ça :
f(x) = (z+i) (z²+az+b)
f(x) = z*z² + z*az + z*b + i*z² + i*az + i*b
f(x) = z³ + az² + bz + iz² + i*az + bi
f(x) = z³ + z² (a+i) + bz + i*az + bi

Et là je n'arrive plus à continuer, je ne suis même pas sûre d'avoir bon jusque là ?

[Sake]

Du coup, j'obtiens ça :
f(x) = (z+i) (z²+az+b)
f(x) = z*z² + z*az + z*b + i*z² + i*az + i*b
f(x) = z³ + az² + bz + iz² + i*az + bi
f(x) = z³ + z² (a+i) + bz + i*az + bi

Et là je n'arrive plus à continuer, je ne suis même pas sûre d'avoir bon jusque là ?

Si, c'est bon. Il faut vraiment que ce genre de manipulations devienne un automatisme. Il n'est pas admissible que tu puisses hésiter sur un développement ou une factorisation en TS, à moins que tu aies l'impression d'avoir commis une bêtise quelque part.

Regroupe maintenant les termes en z (tu l'avais fait pour z², ne t'arrête pas à mi-chemin). Maintenant, compare cette expression par rapport à l'expression de f du début, et identifie les coefficients des termes en z³, z², z ainsi que la constante.

[calliste1998]

Si, c'est bon. Il faut vraiment que ce genre de manipulations devienne un automatisme. Il n'est pas admissible que tu puisses hésiter sur un développement ou une factorisation en TS, à moins que tu aies l'impression d'avoir commis une bêtise quelque part.

Regroupe maintenant les termes en z (tu l'avais fait pour z², ne t'arrête pas à mi-chemin). Maintenant, compare cette expression par rapport à l'expression de f du début, et identifie les coefficients des termes en z³, z², z ainsi que la constante.

J'ai essayé de continuer et ai obtenu ça
f(x) = (z+i) (z²+az+b)
f(x) = z*z² + z*az + z*b + i*z² + i*az + i*b
f(x) = z³ + az² + bz + iz² + i*az + bi
f(x) = z³ + z² (a+i) + bz + i*az + bi

f(x) = z³ + z² (a+i) + z(b+ ai) + bi

J'ai donc comme coefficients :
1 pour les termes en z³
(a+i) pour les termes en z²
(b+ ai) pour les termes en z
et b comme constante ?

Oui je suis bien consciente que je ne peux pas avoir des lacunes sur de telles bases en terminale, il faut vraiment que je me remette à niveau :/

[Sake]

J'ai essayé de continuer et ai obtenu ça
f(x) = (z+i) (z²+az+b)
f(x) = z*z² + z*az + z*b + i*z² + i*az + i*b
f(x) = z³ + az² + bz + iz² + i*az + bi
f(x) = z³ + z² (a+i) + bz + i*az + bi

f(x) = z³ + z² (a+i) + z(b+ ai) + bi

J'ai donc comme coefficients :
1 pour les termes en z³
(a+i) pour les termes en z²
(b+ ai) pour les termes en z
et b comme constante ?

Oui je suis bien consciente que je ne peux pas avoir des lacunes sur de telles bases en terminale, il faut vraiment que je me remette à niveau :/

Ok, mais pourquoi considères-tu b comme étant la constante ? La constante n'est-elle pas bi (sans mauvais jeu de mots, elle pourrait aussi être hétéro) ? Je pense que tu confonds les rôles du nombre imaginaire i et la variable complexe z.

Maintenant que tu as identifié tous les coefficients, à quoi d'autre sont-ils égaux ?

[calliste1998]

Ok, mais pourquoi considères-tu b comme étant la constante ? La constante n'est-elle pas bi (sans mauvais jeu de mots, elle pourrait aussi être hétéro) ? Je pense que tu confonds les rôles du nombre imaginaire i et la variable complexe z.

Maintenant que tu as identifié tous les coefficients, à quoi d'autre sont-ils égaux ?

Heum ... Je ne sais pas du tout ...

[Sake]

Heum ... Je ne sais pas du tout ...

Quid de l'expression de départ, alias f(z) = z³ + (-8+i)z² +(17-8i)z + 17i ?

[calliste1998]

Quid de l'expression de départ, alias f(z) = z³ + (-8+i)z² +(17-8i)z + 17i ?

Ah ! Donc 1 correspond au "z³" (1z³) , le (a+i) correspond à(-8+i) et le bi correspond à 17i?
Et donc a = -8 et b = 17 ?