[Terminale S] - Les nombres complexes et les vecteurs

[Pekwylechti]

Bonjour à tous et merci de prêter attention à ce post.
Mon problème est le suivant : je ne parviens pas à résoudre la question 2.b. de l'exercice suivant. Si vous pouviez m'apporter des précisions ça m'aiderai fortement. Merci beaucoup.

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Soient A, B deux points distincts fixés d’un cercle C de centre I et M un point quelconque
de ce cercle C .
1. Le point D est défini par
---;)---;)---;)
IA + IB + IM = ID

a. Prouver que les produits scalaires
---;)----;)---;)
AD · BM et BD · AM sont nuls.
En déduire à quelles droites particulières du triangle ABM le point D appartient
puis préciser la nature du point D pour le triangle AMB.

b. Soit G l’isobarycentre des points A, B, M. Exprimer
---------------;)
ID en fonction de IG
------------------------------------------------------------------;);)
2. Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormal direct (O, i, j)
on donne les points A, B, I d’affixes respectives zA = 2, zB = 4+2i et zI = 4. On nomme f l’application qui, à tout point M du plan d’affixe z, associe le point
M;) d’affixe Z tel que Z = 1/3 z + 2 + 2/3 i

a. Montrer qu’il existe un unique point * tel que f (*) = * et calculer l’affixe
de ce point.
Pour tout point d’affixe z, exprimer alors Z ;) en fonction de z ;).
Préciser la nature de l’application f .
b. M étant un point quelconque d’affixe zM, montrer que l’image par l’application
f du point M est l’isobarycentre G d’affixe zG des points A, B,
M.
c. Déterminer l’ensemble des points G lorsque le point M décrit le cercle
C de centre I et de rayon 2.
d. En déduire alors, à l’aide du résultat de la question 1. b., l’ensemble décrit
par le point D défini par
---;)---;)---;)
ID = IA + IB + IM
lorsque le point M parcourt
le cercle C de centre I et de rayon 2.


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1.a.
[COLOR=LightBlue]---;)--------;)---;)
AD · BM = 0 et BD · AM = 0
Le point D appartient à la médiane de [BM] et à la médiane [AM], c'est donc l'orthocentre du triangle ABM.

1.b.
Pour tout I du plan,
---;)---;)----;)
IA + IB + IM = 3IG
or :
---;)---;)---;)
IA + IB + IM = ID
donc :
----;)
ID = 3IG

2.a. Soit * d'affixe :
f(*) = * = /3 + 2 + 2/3i = 3+i, ce qui montre que * tel que f(*) = * existe (c'est le point d'affixe = 3+i) et est unique étant donné que l'équation admet une seule solution.

Z-;) = (1/3)(z-;))

donc l'application f est une homotétie de centre * et de rapport 1/3.

C'est ici que je bloque. Comment résoudre la question 2.b. ?
Merci de votre aide ![/COLOR]

[le_fabien]

salut
par définition si G est isobarycentre de A,B et M alors zG=1/3(zA+zB+zM)