Congruence

par **toto273** » 28 Oct 2015, 17:55

Bonjour, pourriez-vous m'aider à prouver que si

,

, s'il vous plaît ?
Merci d'avance

par **capitaine nuggets** » 28 Oct 2015, 18:06

Salut !

C'est bizarre : pour

, ça marche...

Il suffit de savoir que

et que

signifie que

est multiple de

...

:+++:

par **toto273** » 28 Oct 2015, 18:36

D'accord, merci beaucoup, j'ai compris ! Est-ce que vous pourriez également m'aider à prouver que

, avec

. Merci !

par **nodjim** » 28 Oct 2015, 18:38

9=1 mod 4
(2k+1)²=4k²+4k+1=1 mod 4.
1+1=2

par **toto273** » 28 Oct 2015, 18:40

D'accord, merci, mais pourquoi 4k²+4k+1=1 mod 4 ?

par **nodjim** » 28 Oct 2015, 18:44

Parce que 4k²=0 mod 4 (le reste de la division par 4 de 4k² est 0) et pareil pour 4k.

par **toto273** » 28 Oct 2015, 18:48

D'accord, merci beaucoup !

par **toto273** » 28 Oct 2015, 20:36

Et en quoi le fait que

et

, implique que

n'a pas de solution, s'il vous plaît ?

par **nodjim** » 29 Oct 2015, 08:28

9+(2k+1)² = 2 mod 4, c'est à dire que c'est divisible par 2 une seule fois, et donc ne peut être une puissance de 2 supérieure à 2, et en particulier ne peut être divisible par 4. Alors que 2^n, pour n>1, est évidemment divisible par 4. Une fois qu'on a vérifié que le plus petit 9+(2k+1)² n'est pas égal à 2, on a fini.

OK ?

par **toto273** » 29 Oct 2015, 11:45

D'accord, merci beaucoup, j'ai peut-être compris !
Donc en gros pour résumer, comme

et

ne congruent pas vers le même nombre modulo 4, ça signifie que l'équation n'a pas de solution ?

par **nodjim** » 29 Oct 2015, 11:51

Exactement. Si 2 nombres n'ont pas les mêmes restes par division par un même diviseur, alors ils ne sont pas égaux. L'inverse n'est pas pour autant vrai: si 2 nombres ont le même reste quand ils sont divisés par le même diviseur, ils ne sont pas pour autant forcément égaux.

par **toto273** » 29 Oct 2015, 11:55

D'accord, merci beaucoup !

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