Spe maths congruence division ..

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thorek
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Enregistré le: 16 Nov 2008, 13:17

Spe maths congruence division ..

par thorek » 16 Nov 2008, 13:23

Bonjour a tous, voila je vous expose mon exercice. J'ai quelques pistes, mais je n'arrive pas a arriver au bout du raisonnement. Si vous pouviez m'expliquer comment y parvenir, je vous en serais tres reconnaissant !


On donne l'egalite 1000 = 13 x 76 + 12.
Soit n un entier naturel.

1) Determiner suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de 10^3n par 12.

2) Determiner suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de 10^(3n+1) + 10^3n par 13.

3) En deduire le reste de la division euclidienne par 13 de 11.000.000.000.000

4) Quel est le reste de la division euclidienne par 13 de 25 x 10^15 + 1

Je vous remercie d'avance !



Florélianne
Membre Rationnel
Messages: 641
Enregistré le: 06 Sep 2008, 22:23

par Florélianne » 16 Nov 2008, 17:02

On donne l'égalité 1000 = 13 x 76 + 12.
Soit n un entier naturel.

1) Déterminer suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de 10^3n par 12.

10^3 = 13 x 76 + 12
donc 10^3 = 13x76 [12]
13 = 1 [12]
76 = 4 [12]
donc 10^3 = 4 [12]
10^3n = 4^n [12]
4²=16 = 4 [12]
pour tout n , si 4^n = 4 [12] alors 4^n+1 ?
4^n+1 = 4 x 4^n = 4x 4 = 4 [12]
donc pour tout n entier naturel non nul : 10^3n = 4 [12]
donc pour tout entier naturel n, le reste dans la division euclidienne de 10^3n par 12 est 4

2) Déterminer suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne de 10^(3n+1) + 10^3n par 13.

10^(3n+1)+10^3n = 10^3n (10+1)= 11 x 10^3n
10^3 = 13 x 76 + 12 = 12 = -1 [13]
si n est pair, n=2p
10^3n = 10^6p = (10^3p)² = (-1)² = 1 [13]
donc 11x10^3n = 11 [13]
donc 10^(3n+1)+10^3n = 11 [13]
donc le reste de la division euclidienne de 10^(3n+1)+10^3n par 13 est ?

si n est impair, n= 2p+1
10^3n = 10^6p+3 = 10^6p x10^3 ...


3) En déduire le reste de la division euclidienne par 13 de 11.000.000.000.000
11.000.000.000.000.= 10^13 + 10^12
ici n =4 voir plus haut..

4) Quel est le reste de la division euclidienne par 13 de 25 x 10^15 + 1
d'après ce qui a été vu plus haut :
10^15 = ? [13]
25 = 26-1 = ? [13]
donc 25x10^15 = ? [13]
donc 25x10^15 +1 = ? [13]
donc le reste de la division de 25 x 10^15 + 1 par 13 est ?

Bon travail ! La route est balisée...

thorek
Messages: 2
Enregistré le: 16 Nov 2008, 13:17

par thorek » 16 Nov 2008, 18:42

Je te remercie pour ta reponse tres rapide !!

Je m'y mets de suite !!

Erf il y a juste une petite erreur .... :mur: :mur: :mur: :mur:

Dans ma question 1, ce n'est pas par 12 mais par 13. J'edite l'enonce initial, mais je vais tout de meme essayer en adaptant ta methode.

 

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