Démonstration aux consignes que j'ai peine à comprendre

[paquito]

Salut SLA,

J'y connais pas grand chose mais je me rappelle d'un doc à destination des TS (mais un peu dur) ou on introduit la suite et ensuite on montre que et sont adjacentes. Du coup un théorème nous permet de conclure que converge.

Si tu veux la ref, je peux te la retrouver :lol3:

Il y a longtemps que l'on à montré que u_n(x) converge pour tout x!

[paquito]

Salut SLA,

J'y connais pas grand chose mais je me rappelle d'un doc à destination des TS (mais un peu dur) ou on introduit la suite et ensuite on montre que et sont adjacentes. Du coup un théorème nous permet de conclure que converge.

Si tu veux la ref, je peux te la retrouver :lol3:

Les suites adjacentes ne sont plus au programme de TS!

[zygomatique]

en es-tu sur ?

[paquito]

en es-tu sur ?

Absolument!

[paquito]

Je crois que j'ai un peu été trop vite dans mes explications. Faisons le point:
si converge trivialement vers 1.

si décroit et pour , croît, donc ) décroissante et minorée par 1 est convergente; soit exp(x) sa limite.

si, et croît, donc croît et est trivialement majorée par 1 donc converge vers un réel exp(x).

On montre facilement que converge vers la même limite, mais on ne sais même pas si la limite simple exp(x) est continue et a fortiori dérivable; pour ça il nous faut la convergence uniforme et là ça se complique!

Avec les séries entières, ça va beaucoup mieux, mais ça ne doit pas être du programme de l1.

Intérêt de cette démarche???? :mur: :briques: :--:

[Darkwolftech]

Il y a longtemps que l'on à montré que u_n(x) converge pour tout x!

Je répondais à SLA.
D'ailleurs, soit dit en passant, moi je réponds aux questions posées.

[Matt_01]

Vous avez lu le premier message ? Y a un lien vers un document qui vise justement à démontrer l'existence et la dérivabilité de l'exp.

Au passage paquito, on n'a pas u_n(x) décroissante lorsque x > 0.

[paquito]

Je répondais à SLA.
D'ailleurs, soit dit en passant, moi je réponds aux questions posées.

Oui, mais complètement à côté de la plaque! Faudrait suivre un peu ou arrêter de faire des maths! :mur:

[Darkwolftech]

Oui, mais complètement à côté de la plaque! Faudrait suivre un peu ou arrêter de faire des maths! :mur:

Avec toi ? Ok :ptdr:

[paquito]

Je ne tiens pas à polémiquer, mais plutôt à faire une synthèse du problème.

Première remarque:ça fait plus de 35 ans que je suis professeur agrégé de mathématiques et je n'ai jamais vu une construction de l'exponentielle comme

Il y a déjà un bout de temps on définissait , avec réel>0 et comme . il fallait de nombreuses heures pour vérifier toutes les propriétés des exposants, mais si 2 fonctions continues coïncident sur une partie dense de R comme Q elles sont égales sur R et on avait nos exponentielles.

On posait et l'exponentielle naturelle était celle qui vérifiait

Tout cela se faisait il y a 40 ans en Sup et ça plus la construction de R, c'était à vous dégoûter de maths.

Une autre possibilité consistait à définir ln avant exp comme pour x>0, ;

Mais tout repose, F étant une primitive de sur et ce résultat, tu ne l'a pas démontré, vu qu'il repose sur l'uniforme continuité qui ne se voit pas en première année!

Reste, ce qui se fait actuellement en spé:

Soit la série entière:, cette série, qui (qui est aussi une suite) n'est autre que le développement limité de l'exponentielle prolongé infiniment, a un rayon de convergence infinie, donc est convergente pour tout z et on peut écrire:

et sur tout compact de R, elle est uniformément ce qui permet de faire ce que l'on veut:
Elle est continue, car chaque somme partielle l'est;
Elle est dérivable et on peut dériver terme à terme, d'où avec
De plus, on a =exp(x+y)

[SLA]

Salut SLA,

J'y connais pas grand chose mais je me rappelle d'un doc à destination des TS (mais un peu dur) ou on introduit la suite et ensuite on montre que et sont adjacentes. Du coup un théorème nous permet de conclure que converge.

Si tu veux la ref, je peux te la retrouver :lol3:

La question que je me posais c'était les résultats admis pour y parvenir. Ici on suppose donc que R vérifie la propriété de la borne supérieure (pour obtenir le théorème des suites adjacentes).

Je ne tiens pas à polémiquer, mais plutôt à faire une synthèse du problème.

Première remarque:ça fait plus de 35 ans que je suis professeur agrégé de mathématiques et je n'ai jamais vu une construction de l'exponentielle comme

Moi non plus, mais l'argument de l'ancienneté n'empêche pas d'explorer d'autres pistes.

Il y a déjà un bout de temps on définissait , avec réel>0 et comme . il fallait de nombreuses heures pour vérifier toutes les propriétés des exposants, mais si 2 fonctions continues coïncident sur une partie dense de R comme Q elles sont égales sur R et on avait nos exponentielles.

(Je me suis permis une correction: non pas ) Là, je dois louper un passage. Qui sont les deux fonctions continues?

[...]

Tout cela se faisait il y a 40 ans en Sup et ça plus la construction de R, c'était à vous dégoûter de maths.

Je te crois, en particulier sur le dégout que cela peut occasionner.

Cordialement

[paquito]

Première réponse: il faut déjà démontrer que est croissante, ce qui 'est pas de la tarte! toutes les fonctions sont tangentes en 0!
Avec le développement limité au voisinage de 0 de à l'ordre 2 on arrive à au voisinage de 0. de toutes façons il faudra effectivement utiliser le théorème de la borne supérieure. Donc je ne sais même pas si c'est faisable!

deuxième réponse: les fonctions sont définies sur Q; on les prolonge avec beaucoup de mal de façon continue sur R et si f et g sont 2 fonctions continues qui coïncident sur Q, {0} est un fermé contenant Q donc =R

[Matt_01]

Première réponse: il faut déjà démontrer que est croissante, ce qui 'est pas de la tarte! toutes les fonctions sont tangentes en 0!
Avec le développement limité au voisinage de 0 de à l'ordre 2 on arrive à au voisinage de 0. de toutes façons il faudra effectivement utiliser le théorème de la borne supérieure. Donc je ne sais même pas si c'est faisable!

Encore une fois : lire le poly posté par l'auteur ...

[paquito]

J'ai survolé ce poly plein de calculs bourrins, donc difficilement mémorisables; si la convergence de est établie, c'est une convergence simple et donc la continuité de f n'est pas assurée et donc toute la fin est à revoir!( on montre facilement que si à une limite, a la même).

[Robic]

je n'ai jamais vu une construction de l'exponentielle comme

C'est elle qu'on trouve dans le livre Mathématiques L1, sous la direction de J.-P. Marco, L. Lazzarini (Pearson). L'avantage c'est qu'on peut montrer l'existence de l'exponentielle sans rien admettre (la définition vue en terminale oblige d'admettre l'existence d'une fonction égale à sa dérivée, et l'ancien point de vue où on commençait par définir le logarithme oblige d'admettre que toute fonction continue à des primtives).

[paquito]

Je trouve cette construction peu pédagogique; c'est le genre de problème que je ne faisais pas! En plus, c'est un cas très particulier, puisque l'on obtient f'(x)=f(x) sans passer par l'uniforme convergence, ce qui ne peut donner que de mauvaises habitudes.
Il vaut mieux attendre d'avoir le développement en série entière, c'est bien plus intéressant et incontournable.
Conclusion: je sais qu'on peut construire l'exponentielle à partir de . point final.

[mathelot]

Une fonction continue n'est pas n'est pas forcément limite uniforme d'une suite de fonction continues!

sur un compact oui (thm de Stone-Weierstrass)

[paquito]

sur un compact oui (thm de Stone-Weierstrass)

Rectificatif: toute fonction f continue sur un compact est limite uniforme d'une suite de fonctions continues, mais toute suite de fonctions continues convergeant vers f ne converge pas nécessairement de façon uniforme.

exemple: K=[0; 1], f est la fonction nulle sur K et

il est clair que les fonctions sont continues et convergent simplement vers f, nais la convergence n'est pas uniforme sur K puisque pour tout n>0 et