Espace vectoriel

[mathinfo21]

On considéré l'application donnée par:
f: R3 --> R²
(x,y,z) --> f(x,y,z)=(y+z,x)

Ainsi que les vecteurs suivants u=(1,2,3) et v=(1,1,1).

1. Montrer que f est linéaire; déterminer f(u) , f(v) , f(u-2v).
2. Déterminer le noyau de f (kerf) . Et donner une base et préciser sa dimension, f est-elle injective ?
3. Déterminer l'image de f (Imf) . Et donner une base et préciser sa dimension , f est-elle surjective ?

Bonsoir et merci d'avance!

[capitaine nuggets]

Salut !

Qu'as-tu fait pour le moment ?

[mathinfo21]

seulement la première, pour le reste je bloque.. :(

[capitaine nuggets]

Par définition, .
Donc préciser revient à résoudre un système de deux équations à trois inconnues :+++:

[mathinfo21]

Oh merci! et pour la base et la dimension ?

[capitaine nuggets]

Oh merci! et pour la base et la dimension ?

Tu ne les trouvera qu'après avoir résolu le système.

[mathinfo21]

C'est bon j'ai trouvé! comment faire pour démonter si f est injective et bijective ?

[Sylviel]

Quel est le lien entre noyau d'une application linéaire et son injectivité ?
Quel est le lien entre la base de l'image d'une application linéaire et sa surjectivité ?

[mathinfo21]

ah oui c'est bon j'ai trouvé! Mais d’après ce que j'ai vu f n'est pas injective dans cet exo.. j'ai raison ?

[capitaine nuggets]

est injective si et seulement si .
Or donc ...

[mathinfo21]

et donc f n'est pas injective!
et ni surjective d'ailleurs car dim imf n'est pas égale a R3
c'est bien cela ?
et j’espère que je ne me suis pas trompée a propos du vecteur v(0,1,-1)...

[capitaine nuggets]

et donc f n'est pas injective!
et ni surjective d'ailleurs car dim imf n'est pas égale a R3
c'est bien cela ?
et j’espère que je ne me suis pas trompée a propos du vecteur v(0,1,-1)...

Il y a un soucis dans la terminologie : est surjective si et seulement si .
J'ai pas bien compris ton histoire de vecteur...