Produit direct

[capitaine nuggets]

bonjour, je m'exercice sur les produit de groupes et je bloque sur l'exo suivant :
On a un groupe fini tel que , quel que soit dans .
Il me faut montrer qu'il existe sous-groupes d'ordre de tels que .
Je ne vois pas trop comment raisonner...
Ensuite, il faudra en déduire à quel groupe G est-il isomorphe (j'ai pensé à , car chaque sous-groupe est d'ordre ).

Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
Perso., une fois démontré que l'hypothèse implique que G est commutatif, je procèderais le plus bètement du monde :
- Si on choisi un
- Si (sous groupe engendré par) on choisi un
- Si on choisi un
etc...
Le processus est forcé de s'arrêter vu que G est fini et on montre trés facilement que les répondent à la question.

[capitaine nuggets]

Salut,
Perso., une fois démontré que l'hypothèse implique que G est commutatif, je procèderais le plus bètement du monde :
- Si on choisi un
- Si (sous groupe engendré par) on choisi un
- Si on choisi un
etc...
Le processus est forcé de s'arrêter vu que G est fini et on montre trés facilement que les répondent à la question.

Alors oui, j'ai montré que l'hypothèse implique que G est commutatif en considérant (xy) :++:
équivaut à :+++:
Par contre, j'ai du mal à comprendre ce que tu essaies de me dire.
Pourrais-tu développer ton idée stp ?

[Ben314]

Par contre, j'ai du mal à comprendre ce que tu essaies de me dire.
Pourrais-tu développer ton idée stp ?

Ben je vois pas trop comment développer plus que ça : on prend simplement des éléments de G les uns aprés les autres jusqu'à ce qu'on en ait assez pour engendrer G tout entier....

[capitaine nuggets]

Ah oui, je pense avoir compris. En fait, si on pose a comme étant l'ordre de G, il existe effectivement a tels sous-groupes. Faut-il vérifier les conditions pour montrer qu'effectivement ils sont en produit direct ? Je crois qu'il faut montrer que les éléments commutent (fait ^^), que le produit est bien égal à G et que l'intersection de avec le produit des est bien réduit au neutre ?

[barbu23]

Bonjour, :happy3:

@capitaine nuggets :
Si tu connais le théorème de la base incomplète dans un espace vectoriel ( de dimension finie puisque ton groupe est fini ), alors il est facile de comprendre la méthode que @Ben t'a proposé pour résoudre ton exercice. :happy3:
Le théorème de la base incomplète repose sur l'axiome de choix et consiste à chercher une famille libre et génératrice d'un espace vectoriel de dimension . Par l'axiome de choix, on choisis dans un premier temps, un vecteur libre quelconque de , cela donne une famille libre de . Le but est de compléter cette famille par une famille d'éléments un par un ( i.e : on choisis : tels que est une famille libre de , et ainsi de suite, jusqu’à former une famille libre qui est une famille libre mais surtout génératrice de , c'est à dire : ).
C'est le même principe qu'avait utilisé @Ben plus haut. :happy3:

Cordialement. :happy3:

[capitaine nuggets]

Bonjour, :happy3:

@capitaine nuggets :
Si tu connais le théorème de la base incomplète dans un espace vectoriel ( de dimension finie puisque ton groupe est fini ), alors il est facile de comprendre la méthode que @Ben t'a proposé pour résoudre ton exercice. :happy3:
Le théorème de la base incomplète repose sur l'axiome de choix et consiste à chercher une famille libre et génératrice d'un espace vectoriel de dimension . Par l'axiome de choix, on choisis dans un premier temps, un vecteur libre quelconque de , cela donne une famille libre de . Le but est de compléter cette famille par une famille d'éléments un par un ( i.e : on choisis : tels que est une famille libre de , et ainsi de suite, jusqu’à former une famille libre qui est une famille libre mais surtout génératrice de , c'est à dire : ).
C'est le même principe qu'avait utilisé @Ben plus haut. :happy3:

Cordialement. :happy3:

Ah d'accord, merci !
Oui, il y a un parallèle évident avec l'algèbre linéaire :++:

Mais du coup, il faudrait justifier cette décomposition de produit avec ce que vous avez dit ? Ou c'etait juste pour me faire comprendre comment on arrivait au résultat ?

[barbu23]

Attend, je ne suis pas un pro en théorie des groupes, moi, j'ai vu la théorie des groupes quant j'étais en L3 ça fait plus de 7 ans. Donc, c'est normal que j'oublie s beaucoup de choses dans cette théorie.
Voici comment je peux t'aider.
Tu fais l'analogue avec les espaces vectoriels comme je t'ai dit tout à l'heure :
@Ben261 te l'a dit, lui il cherche à te conduire vers une écriture de la forme : suivant les notations qu'il a choisit.
Un espace vectoriel s'écrit en notation additives, donc :
En notation multiplicative, comme c'est le cas de ton groupe G, on va avoir un truc comme ceci :

Donc, est un - espace vectoriel si on peut l'appeler ainsi.

Cordialement. :happy3:

[capitaine nuggets]

Pas de soucis ^^ !
Oui, j'avais eu la même idée :+++:

Ensuite, il faudra en déduire à quel groupe G est-il isomorphe (j'ai pensé à , car chaque sous-groupe est d'ordre ).

Merci à vous deux, je reverrais cela demain matin et si le problème persiste, je
reviendrais dessus demain après-midi, bonne soirée à vous deux :++:

[barbu23]

Attend, il me semble qu'on a pas encore fini le travail, car, il faut mettre rigoureusement le lien avec le produit direct pour voir plus clairement les choses, et ça, on ne l'a pas encore fait. :happy3:
Pour faire cela, il faut suivre la succession d'égalités suivantes :




avec : sous groupe cyclique d'ordre .

Je sais que tu te poses la question, pourquoi : ... C'est simplement l'application d'un théorème qui se trouve ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_direct_%28groupes%29 . ( Lis la partie ( paragraphe ) : Produit direct interne d'une famille finie de sous-groupes )

Cordialement. :happy3:

[capitaine nuggets]

Bonsoir, j'étais en train de repenser à cet exo et je me suis posé une généralisation :
Supposons G un groupe commutatif fini tel que, pour tout x de G, x^p=1, p premier.
Existe-t-il un nombre a de sous-groupes (quels seraient leur ordre...) tel que G est le produit direct interne de ces sous-groupes ? A quoi G seraient-il isomorphe du coup ?

Est-ce que cette question admet une réponse ? ou ai-je cherché à trop généraliser l'exo précédemment donné ?

[Ben314]

Sauf erreur, en recopiant la preuve, tu arrive au même résultat, à savoir que G est isomorphe à (Z/pZ)^k pour un certain k.

En fait, si ça t'interesse, le "lien" qu'il y a avec l'algèbre linéaire vient du fait que tout groupe commutatif est naturellement muni d'une structure de Z-module qui est, grosso-modo, l'équivalent d'une structure de K-espace vectoriel mais dans le cas où le corps de base K n'est pas un corps, mais uniquement un anneau (par exemple... Z)

Et, si tu veut aller (pas mal) plus loin, il y a un théorème qui dit que tout groupe commutatif est isomorphe à un unique où et divise pour tout .

[barbu23]

Bonrsoi, :happy3:
@Ben314 : Mais, on ne sait pas si est abélien, dans le cas où l'ordre des éléments est un nombre premier : . Le sais tu toi ? Peux tu m'indiquer comment on établit que est abélien ?
Merci d'avance. :happy3:

[Ben314]

Supposons G un groupe commutatif fini tel...

Là, la question était claire.
Dans le cas où p=2 (i.e. x²=1 pour tout x de G) on montre facilement que G est abélien.
Dans le cas p quelconque, je ne pense pas qu'on puisse en déduire que G est commutatif.
Je te cherche un contre exemple...

[barbu23]

Là, la question était claire.
Dans le cas où p=2 (i.e. x²=1 pour tout x de G) on montre facilement que G est abélien.
Dans le cas p quelconque, je ne pense pas qu'on puisse en déduire que G est commutatif.
Je te cherche un contre exemple...

Ah d'accord, merci. :happy3:
Et si on suppose que est non abélien tels que tous ses éléments sont d'ordre un entier premier : . A quoi est -t-il "semblable" ? à un produit semi-direct de ... ? non ?
Merci d'avance.

N.B. : Je ne suis pas familier avec les outils des groupes non abéliens. :happy3:

[Ben314]

Effectivement, on peut faire un produit semi direct. Par exemple, pour p premier >2, si on muni (Z/pZ)^3 de la loi (x,y,z)*(x',y',z')=(x+x',y+y',z+z'+x'y) on obtient un groupe non commutatif dont tout élément autre que le neutre est d'ordre p.
(Lorsque p=2, la même construction donne le groupe diédral D8)

[capitaine nuggets]

Sauf erreur, en recopiant la preuve, tu arrive au même résultat, à savoir que G est isomorphe à (Z/pZ)^k pour un certain k.

En fait, si ça t'interesse, le "lien" qu'il y a avec l'algèbre linéaire vient du fait que tout groupe commutatif est naturellement muni d'une structure de Z-module qui est, grosso-modo, l'équivalent d'une structure de K-espace vectoriel mais dans le cas où le corps de base K n'est pas un corps, mais uniquement un anneau (par exemple... Z)

Et, si tu veut aller (pas mal) plus loin, il y a un théorème qui dit que tout groupe commutatif est isomorphe à un unique où et divise pour tout .

Ok, mais du coup, comment décrire les sous-groupes [TEX]H_i[TEX] d'ordre p ?

[barbu23]

Ok, mais du coup, comment décrire les sous-groupes d'ordre ?

est le groupe cyclique d'ordre : .
L'écriture que t'avait évoqué @Ben314 ( i.e : où et divise ) ne peut voir lieu que si on remplace par une écriture de la forme : ou bien de la forme , pour qu'on ait la condition : . Par exemple, si est tels que tous ces éléments sont d'ordre : , on va avoir des sous groupes d'ordre , des sous groupes d'ordre , et des sous groupes d'ordre : , d'après les théorèmes de Lagrange et de Cauchy. A ce moment là, le , n'est autre que le fait que : avec : avec : et . ( Sauf erreur ) Essaye de faire l'analogie avec les espaces vectoriels pour comprendre ). :happy3:
Donc, ici puisque est tel que tous ses éléments d'ordre , on va avoir simplement une écriture de la forme : et non :
J'espère que je n'ai pas dit de grosses bourdes. :happy3:

[barbu23]

Ok, mais du coup, comment décrire les sous-groupes d'ordre ?

est le groupe cyclique d'ordre : .
L'écriture que t'avait évoqué @Ben314 ( i.e : où et divise ) ne peut voir lieu que si on remplace par une écriture de la forme : ou bien de la forme , pour qu'on ait la condition : . Par exemple, si est tels que tous ces éléments sont d'ordre qui divise : , on va avoir des sous groupes d'ordre , des sous groupes d'ordre , et des sous groupes d'ordre : , d'après les théorèmes de Lagrange et de Cauchy. A ce moment là, le , n'est autre que le fait que : avec : et . ( Sauf erreur )
Donc, ici puisque est tel que tous ses éléments d'ordre , on va avoir simplement une écriture de la forme : et non :
J'espère que je ne pas voir dit de grosses bourdes. :happy3:

[Ben314]

Ok, mais du coup, comment décrire les sous-groupes d'ordre p ?

Je sais pas trop ce que tu veut dire par "décrire" : chaque est un sous-groupe d'ordre p de G, engendré par un certain , mais les n'ont rien de franchement particulier vu qu'on peut les prendre (presque) au pif :
On prend , puis puis , etc..
Exactement comme tu construit une base d'un espace vectoriel : les vecteurs n'ont rien de bien particulier, à part qu'aucun d'eux n'est combinaison linéaire des autres....