Exercices Terminale S Raisonnement par Récurrence ._.

[Majeste]

Salut a tous, je n'arrive pas a comprendre le raisonnement par récurrence dans les exercices suivants.. Ou a l'appliquer du moins :s !

Ex 6 : a) 1x1!+2x2!=3!-1 de même : 1x1!+2x2!+3x3!=4!-1
Peut on continuer ainsi?

Ex 7 : On considère la suite définie par

Montrer par récurrence : "Pour tout n ,
"

Ex 8 : n désigne un entier naturel non nul et

1. Démontrer par récurrence que pour tout n >= 1;
2.a) Vérifier que :
b) En déduire une autre méthoqe (qui n'utilise pas le raisonnement par récurrence) pour démontrer que

Voila.. J'ai besoin de votre aide s'il vous plait on peux faire un exercice par un sa ne me dérange pas du tout.. Merci..

[Ericovitchi]

Bon alors exercice 6. Raisonnement par récurrence typique. Tu veux démontrer que

tu le vérifies pour n=1 tu le supposes vrai pour n et tu dois démontrer que ça l'est encore pour n+1.
il suffit de calculer (on applique notre hypothèse de récurrnce)
et tu viens de vérifier que la formule était encore vérifiée pour n+1, elle est donc vraie pour tout n.

Essaye de construire pour 7 un raisonnement par récurrence du même genre.

[paquito]

Je vais détailler l'exo 6.
Initialisation: pour et ; la propriété est donc vraie pour n=1 (on commence toujours par l'initialisation, car sinon on risquerait de l'oublier et le principe de récurrence ne s'appliquerait pas)

Ensuite, on doit établir le résultat d'une somme , donc notons:

; notre hypothèse de récurrence va donc s'écrire:

pour un entier et nous

devons démontrer au rang: ;

Pour une somme, le lien entre le rang et le rang est facile; c'est:

; tout est près pour démontrer l'hérédité; allons-y!

;

La propriété est bien héréditaire, elle est initialisée, donc d'après le principe de récurrence, pour tout

, .

Tu vois que c'est très méthodique. Je te recontacterais tout à l'heure pour l'exo 7, car il y a un problème d'énoncé.

[Majeste]

Merci beaucoup a vous deux :) ! C'était finalement pas si compliqué que sa, il me manque juste a chaque fois l'idée de tout mettre en forme "générale" (Avec des variables enfaite ^^) c'est a dire ici avec le sigma ! :)

[paquito]

Au niveau de l'exo 7, il y a un probléme; tu as une suite définie par une relation de récurrence:

avec ; tu na pas à chercher le lien entre le rang et le rang ; c'est ;

par contre, on te demande d'établir , or si on prend cette relation comme hypothèse de récurrence, ça va être impossible de justifier ;

de plus si on fait un petit programme, on trouve toujours , donc on va plutôt démontrer ce résultat.

Commençons par;

second degré , donc donc on a toujours et donc .


Ce résultat étant établi, c'est un jeu d'enfant d'établir et de conclure (je n'ai pas détaillé la rédaction); cet exercice est quand même un peu bizarre pour une démonstration par récurrence!

[Ericovitchi]

Si visiblement c'est vrai
[/URL]

donc par récurrence, on suppose Un entre 0 et 1 et on montre que c'est encore vrai pour n+1

effectivement
or si a est entre 0 et 1, a² l'est aussi.

[Majeste]

Ho... La je suis désolé mais pour l'exo 7 tout est vraiment confus pour moi :o ! Quelqu'un serait capable de m'expliquer sa plus.. Lentement dans les étapes s'il vous plait? :s

[paquito]

Effectivement, c'est un exercice un peu spécial; déjà, il faut modifier le résultat à démontrer qui devient :pour tout , car l'énoncé n'est pas cohérent.

l'initialisation est une donnée de l'énoncé.

l'hypothèse de récurrence va être : pour un entier ,

commençons par établir , comme te l'a montré ericovitchi,

donc et ;

ce qui est déroutant dans cette partie de la démonstration, c'est que l'hypothèse de récurrence ne sert strictement à rien! Passons à la deuxième étape.

On a ( hypothèse de récurrence) et on sait que ( hypothèse de récurrence) , donc d'où et donc :

, ce qui achève la démonstration. (la conclusion est toujours la même)
Ce qu' a voulu te montrer ericovitchi, c'est comment construire les premiers termes de la suite à l'aide de la fonction et de la droite d'équation , pour constater qu'elle était croissante et qu les termes se rapprochaient de .

Ne t'inquiète pas si cet exercice t'a perturbé; il est vraiment très spécial et en plus ne fait pas vraiment travailler la récurrence.

[Majeste]

Je suis vraiment désolé, mais malgré toutes les aides que vous m'avez fourni, je suis incapable de comprendre cet exercice je pourrais tout bêtement recopier, mais je n'y vois pas l’intérêt... Peut être que la correction de l'exo en cours m'aideras mais.. J'ai du mal a y croire :o Et pour le 8 bah.. Comme a chaque fois je n'arrive pas a démarrer ._. C'est énervant :o

[paquito]

Oublie l'exo 7 qui est stupide et passons à l'exo 8; c'est une somme donc comme l'exo 6;
donc même méthode!

pour; c'est vérifié.

Hypothèse de récurrence: Pour un entier

Ensuite, ce qu'il fallait montrer; il ne reste plus qu'à conclure!

Si tu écris: , tu vas avoir (tout ou presque se simplifie!); c'est une autre démonstration. Je te laisse réfléchir sur tout ça.