Petit blocage sur raisonnement par récurrence( terminale S)

[yam33]

Bonjour, ci joint l'énoncé:
On considère les suites (Un) et (Vn) définies par Uo=2 et pour tout n de N, U(n+1)= 5Un-3/Un+1 et
V(n)= Un-3/Un-1.
1) Conjecturer une formule explicite pour V(n)
Conjecture V(n)= 1/2^n . Suite géométrique de raison 1/2 et de premiers terme V1=-1/2.
2) En déduire une conjecture pour U(n)
C'est ici que je bloque pourtant j'ai déjà fait un exercice de ce type.
J'ai essayer par une égalité logique comme: (1/2^n)= V(n) soit (1/2^n)=( Un-3)/(Un-1).
3) La démontrer
Il suffira de démontrer cette conjecture par récurrence ( initialisation puis hérédité)


Merci de votre aide.

[titine]

Pour plus de clareté pourrais tu reprendre ton énoncé en mettant des parenthèses permettant de distinguer U(n+1) et U(n) + 1 et d'écrire correctement tes quotients.
Pour 2 puissance n utilise 2^n

[chan79]

Bonjour, ci joint l'énoncé:
On considère les suites (Un) et (Vn) définies par Uo=2 et pour tout n de N, Un+1= 5Un-3/Un+1 et
Vn= Un-3/Un-1.
1) Conjecturer une formule explicite pour Vn
Conjecture Vn= 1/2n (puissance n). Suite géométrique de raison 1/2 et de premiers terme V1=-1/2.
2) En déduire une conjecture pour Un
C'est ici que je bloque pourtant j'ai déjà fait un exercice de ce type.
J'ai essayer par une égalité logique comme: (1/2n)= Vn soit (1/2n)=( Un-3)/(Un-1).
3) La démontrer
Il suffira de démontrer cette conjecture par récurrence ( initialisation puis hérédité)


Merci de votre aide.

salut
donc

A partir de , tu exprimes en fonction de





etc

[yam33]

salut
donc

A partir de , tu exprimes en fonction de





etc

En gros pour exprimer dans le cas général Un en fonction de Vn ( quand on cherche Un) on fait: Vn*son dénominateur= numérateur de Vn soit Vn(Un-1)=Un-3.

[yam33]

salut
donc

A partir de , tu exprimes en fonction de





etc

soit U(n+1)((V(n+1)-1)=-3+V(n+1) ?

[chan79]

soit U(n+1)((V(n+1)-1)=-3+V(n+1) ?

et on remplace

[yam33]

et on remplace

Soit U(n)=((-7/3)n)-3/ ((-3/2)n)-1

[chan79]

Soit U(n)=((-7/3)n)-3/ ((-3/2)n)-1

On arrive à



ce qui montre que cette suite a comme limite 3