Propriété surprenante

[lapras]

Bonjour, je suis conscient que l'énoncé est un peu technique, mais la preuve ne l'est pas vraiment.

Soit le corps des nombres complexes -adiques (i.e. la complétion de la clôture algébrique de ). Montrer qu'on peut trouver une suite emboîtée décroissante de disques dont l'intersection est vide.

Lapras

[Doraki]

Un = la boule de centre p^(1/2) + p^(3/4) + p^(7/8) + ... + p^(1-2^(-n))
et de rayon p^(-1+2^(-n-1)) ?

J'avoue que c'est plutôt bizarre.

[Imod]

D'un autre côté l'espace Euclidien usuel archi-connu réserve déjà des surprises alors les espaces un peu bizarre ...

Imod

[lapras]

D'un autre côté l'espace Euclidien usuel archi-connu réserve déjà des surprises alors les espaces un peu bizarre ...

Imod

Oui mais est quand même complet... ce qui rend la propriété encore plus surprenante à première vue.

[Ben314]

Oui, mais d'un autre coté, il faut reconaitre que les distances ultramétriques en général, c'est quand même pas "super intuitif" : si tu prend deux points distincts x1 et x2, puis B1 la boule fermée de centre x1 et de rayon d(x1;x2) et B2 la boule ouverte de centre x2 et de rayon d(x1,x2) alors non seulement B2 ne "sort pas" de B1 (i.e. B2 est contenu dans B1) mais elle est même entièrement contenue dans le cercle de centre x1 et de rayon d(x1,x2).
Je trouve que c'est pas "super visuel" comme truc...

P.S. :

Oui mais est quand même complet... ce qui rend la propriété encore plus surprenante à première vue.

oui, mais la proprété "surprenante" dont tu parle correspond plutôt à la notion de compacité (qui est une notion de "pure" topologie) qu'à la notion de complétude (qui elle est métrique : le même espace topo. peut être vu comme issu de plusieurs métriques dont uniquement certaines sont complètes)

[lapras]

Oui, mais d'un autre coté, il faut reconaitre que les distances ultramétriques en général, c'est quand même pas "super intuitif" : si tu prend deux points distincts x1 et x2, puis B1 la boule fermée de centre x1 et de rayon d(x1;x2) et B2 la boule ouverte de centre x2 et de rayon d(x1,x2) alors non seulement B2 ne "sort pas" de B1 (i.e. B2 est contenu dans B1) mais elle est même entièrement contenue dans le cercle de centre x1 et de rayon d(x1,x2).
Je trouve que c'est pas "super visuel" comme truc...

Certes ! Enfin la notion de "visuel" est subjective, car par exemple on peut visualiser avec un arbre infini (la notion de distance étant celle du "plus proche ancêtre commun"). La propriété que tu viens d'énoncer s'en déduit alors visuellement. C'est sûr que si on essaie de faire une analogie avec la distance euclidienne en imaginant des disques ultramériques comme des "vrais" disques alors là c'est pas visuel.

P.S. ui, mais la proprété "surprenante" dont tu parle correspond plutôt à la notion de compacité (qui est une notion de "pure" topologie) qu'à la notion de complétude (qui elle est métrique : le même espace topo. peut être vu comme issu de plusieurs métriques dont uniquement certaines sont complètes)

Oui on connaît bien le résultat pour une intersection de compacts. Le point est que n'est pas un corps localement compact (car le corps résiduel est , qui est infini). J'ajoute que si la propriété de l'énoncé est vraie pour toute suite décroissante de disques alors le corps est complet (on dit qu'il est sphériquement complet).