Zéro d'un polynôme complexe

[egan]

Salut tout le monde,

Est-ce qu'il y a des techniques pour majorer le module des zéros d'un polynôme complexe ?

Typiquement, j'aimerais bien faire ça pour le polynôme:



où p et q sont des réeles entre 0 et 1 tels que p + q = 1 et s et r des entiers naturels tels que s est plus grand que r.

Ya pas moyen de calculer une intégrale curviligne sur un cercle de rayon R et de regarder le nombre de zéro dans le disque et de régler R pour que ça marche ?

@+ Boris.

[DamX]

Salut tout le monde,

Est-ce qu'il y a des techniques pour majorer le module des zéros d'un polynôme complexe ?

Typiquement, j'aimerais bien faire ça pour le polynôme:



où p et q sont des réeles entre 0 et 1 tels que p + q = 1 et s et r des entiers naturels tels que s est plus grand que r.

Ya pas moyen de calculer une intégrale curviligne sur un cercle de rayon R et de regarder le nombre de zéro dans le disque et de régler R pour que ça marche ?

@+ Boris.

Bonjour,

Tout dépend de la finesse de la majoration que tu recherches, si tu veux le Max je ne connais pas de techniques précise. Et si tu veux une majoration parmi tant d'autres c'est du cas par cas et pour ton exemple on peut en trouver une qui n'a pas l'air mal :


jusque là rien de bien méchant, tu passes ensuite au module, et pour simplifier tout ça tu peux te dire "et si je suppose que |X| est supérieur à 1 ?". Cela te donne sous cette hypothèse :


et en appliquant la seconde inégalité triangulaire :

et tu as donc


Donc en revenant au cas général, soit le module est majoré par 1, soit sinon on vient de montrer qu'il était majoré par f(1). (car si f(1)0 et non que 1, tu obtiens qu'il est alors majoré par

Et donc tu as en fait

c'est à dire


A voir si il est possible d'étudier f pour en sortir une majoration pas trop compliquee et plus fine que avec x=1 ! Je n'ai pas essayé !

Damien

[egan]

Merci beaucoup pour ta réponse. Je suis désolé de n'en prendre conscience que maintenant.

Est-ce que mon histoire d'intégrale curviligne pour compter le nombre de zéros dans un disque te paraît jouable ou c'est trop farfelu pour ce que je veux faire ?

[DamX]

Merci beaucoup pour ta réponse. Je suis désolé de n'en prendre conscience que maintenant.

Est-ce que mon histoire d'intégrale curviligne pour compter le nombre de zéros dans un disque te paraît jouable ou c'est trop farfelu pour ce que je veux faire ?

Je suppose que tu fais référence au théorème des résidus avec ton idée d'intégrale curviligne.

1/(2i*Pi) * Int(f,L) = somme_pôles_zk Res(f,zk)Ind(zk,L)

Où L est le lacet d'intégration.

Si tu l'appliques au polynôme ou plutôt à son inverse, ça ne va pas mener à grand chose, ne connaissant pas les résidus.

Mais en y repensant il y a une propriété des résidus qui peut aider ici :
Si a est un pôle de f d'ordre n, alors
Res(f'/f,a)=n
*Ce qui fait qu'en appliquant le théorème à f'/f et en prenant le cercle de module z, Ca te donne la somme des pôles (en tenant compte de leur multiplicité) à l'intérieur du cercle.

Ainsi, en faisant monter le rayon du cercle en effet, l'intégrale doit augmenter jusqu'à valoir n le degré de ton polynôme que tu connais.

Donc en effet théoriquement ça marche, en appliquant le théorème des résidus à f'/f au cercle de rayon z le plus petit donnant le degré de ton polynôme comme résultat, ce sera ton majorant. Le détail est comment calculer l'intégrale ?.. Vu qu'on se sert souvent du contraire, utiliser le théorème pour calculer l'integrale d'après les résidus, et non l'inverse.

Je ne sais pas si je suis clair ...

Mais si c'est l'integrable est calculable dans ton exemple c'est joli comme méthode !

Damien