Voisinage de plus l'infini dans N

[chombier]

Décidément la reprise des maths en solo est difficile. Il faut dire que je bloque sur le moindre détail et que les imprécisions — ou pire, les erreurs — dans les polys me laissent d'une perplexité sans nom.
Un exemple :


[INDENT]De;)finition 2.1.1. Un voisinage de +;) dans est un ensemble contenant tous les entiers supe;)rieurs a;) un entier N donne;), c’est-a;) dire un ensemble contenant un ensemble de la forme {n | n > N}.

Dire qu’un entier n est dans un voisinage de +;) dans revient donc a;) dire qu’il existe un entier N > 0 tel que n > N.
[/INDENT]


On est d'accord pour dire que ce passage de mon poly est complètement foireux ?
Ou bien c'est moi qui ne comprends rien ?

[Monsieur23]

Aloha,

Oui, c'est un peu étrange… c'est dans quel contexte ?

[chombier]

Aloha,

Oui, c'est un peu étrange… c'est dans quel contexte ?

C'est pour introduire formellement les limites de suite, c'est niveau L1, juste après le bac.

[arnaud32]

ca te dit juste que la famille des ensembles de la forme [N,+oo[ forme une base de voisinages de +oo dans N

[Monsieur23]

ca te dit juste que la famille des ensembles de la forme [N,+oo[ forme une base de voisinages de +oo dans N

Oui, dans un contexte de cours de topologie, c'est un bon exemple.

Dans un contexte de suite, c'est un peu… capillotracté.

[arnaud32]

ca permet de faire le lien entre la definition generale d'une limite, et le cas particulier des suites.
une suiite d'ans X (espace topologique) n'est autre qu'une application de N dans X

dire que tend vers l de X quand n tend vers l'infini ca veut dire que pour tout voisinage V de l il existe un voisinage V' de +oo (dans N) tel que
or V' est de la forme ]N,+oo[
ca revient donc a dire que pour tout voisinage V de l il existe un voisinage N tel que
c'est a dire que pour tout n>N

[chombier]

Vous êtes passé à côté de ce qui me fait grandement tiquer.

Pour moi c'est la deuxième phrase qui est complètement foireuse, parce que "il existe un entier N > 0 tel que n > N", ça veux simplement dire n;)2.

Et dire "n appartiens à un voisinage de +infini", ça ne signifie rien. est un voisinage de plus l'infini.

[arnaud32]

en effet N est un voisinga de +oo
mais c'est vrai dans toute topologie l'ensemble lui meme est un ouvert il est donc un voisinage de chacun de ses points

[arnaud32]

Dire qu’un entier n est dans un voisinage de +;) dans revient donc a;) dire qu’il existe un entier N > 0 tel que n > N.
ca en effet ca n'avance pas a grand chose si ce n'est a dire qu'aucun entier ne peut etre dans tous les voisinages de +oo

[chombier]

Dire qu’un entier n est dans un voisinage de +;) dans revient donc a;) dire qu’il existe un entier N > 0 tel que n > N.
ca en effet ca n'avance pas a grand chose si ce n'est a dire qu'aucun entier ne peut etre dans tous les voisinages de +oo

Ca ne veux surtout rien dire.

Quelle est la signification de "n est dans un voisinage de +;)" ???

[Monsieur23]

Ca ne veux surtout rien dire.

Quelle est la signification de "n est dans un voisinage de +;)" ???

Ça veut dire : il existe N tel que n > N.

[chombier]

Ça veut dire : il existe N tel que n > N.

Même pas, zéro est dans un voisinage de plus l'infini

[chombier]

Bref, la deuxième phrase c'est bullshit.

Et en fait si je regarde de près, les imprécisions sont légion. Il est "oublié" de dire que si une propriété est vraie pour tout voisinage de la forme ]x0-eps ; x0+eps[ alors elle est vraie pour tout voisinage de x0 (quelle que soit sa forme). Pourtant c'est largement utilisé dans moult démonstrations où on se limite à la première famille sans le justifier.

Bon bref, je vous lèche, je vais acheter un bouquin de L1, ras le bol de ces polys truffés d'erreurs, d'approximations et de trous dans les démonstrations.

J'ai même pas envie d'écrire à l'auteur du poly... (http://bit.ly/1v17raU pour les intimes)

[Luc]

Vous êtes passé à côté de ce qui me fait grandement tiquer.
Et dire "n appartient à un voisinage de +infini", ça ne signifie rien.

si , ça signifie quelque chose de précis, il faut voir comment on a défini l'ensemble des voisinages de + l'infini.
Ici les voisinages de l'infini sont les parties de non bornées, ou de cardinal infini, c'est équivalent. Autrement dit, une partie de est un voisinage de +l'infini si et seulement si elle contient tous les entiers à partir d'un certain rang N.

[chombier]

si , ça signifie quelque chose de précis, il faut voir comment on a défini l'ensemble des voisinages de + l'infini.
Ici les voisinages de l'infini sont les parties de non bornées, ou de cardinal infini, c'est équivalent. Autrement dit, une partie de est un voisinage de +l'infini si et seulement si elle contient tous les entiers à partir d'un certain rang N.

D'accord, avec ta deuxième phrase.

Mais ça ne me dit pas quel est le sens de "un entier n appartient à un voisinage de + l'infini"

Ca signifie quoi, concrètement, pour n, puisque c'est de n qu'il s'agit ?

[Doraki]

Je suis d'accord, "n appartient à un voisinage de + l'infini" ça ne veut rien dire, comme tu l'as remarqué, n'importe quel entier est dans N, et N est "un voisinage de + l'infini".

[Luc]

D'accord, avec ta deuxième phrase.

Mais ça ne me dit pas quel est le sens de "un entier n appartient à un voisinage de + l'infini"

Ca signifie quoi, concrètement, pour n, puisque c'est de n qu'il s'agit ?

Cela veut dire qu'il existe (au moins) une partie de non bornée telle que . C'est toujours vrai puisqu'on peut prendre par exemple .

[chombier]

Cela veut dire qu'il existe (au moins) une partie de non bornée telle que . C'est toujours vrai puisqu'on peut prendre par exemple .

Merci, c'est bien ce qu'il me semblait

C'est tellement frustrant de trouver des erreurs ou des incohérences dans le cours qu'on est en train de lire, comment faire confiance dans la suite après, et savoir si ce qu'on n'a pas compris un peu plus loin n'est pas simplement une erreur qu'on n'arrive pas à détecter.

[Luc]

Merci, c'est bien ce qu'il me semblait

C'est tellement frustrant de trouver des erreurs ou des incohérences dans le cours qu'on est en train de lire, comment faire confiance dans la suite après, et savoir si ce qu'on n'a pas compris un peu plus loin n'est pas simplement une erreur qu'on n'arrive pas à détecter.

Je te rassure (ou pas :ptdr: ) c'est encore vrai dans mes cours et dans les articles de recherche!

[chombier]

Je te rassure (ou pas :ptdr: ) c'est encore vrai dans mes cours et dans les articles de recherche!

Oui mais là c'est les bases des bases. Et surtout qu'est-ce que l'auteur a voulu dire ? Mystère !

On parlerais des voisinages d'un point dans R, je verrais à peu près. Il est en effet intéressant de dire que si une propriété est vraie pour tout voisinage de la forme ]x0-eps ; x0+eps[, alors elle est vraie pour tout voisinage de x0.

Ainsi pour prouver qu'un énoncé est valable pour tout voisinage V de x0, il est suffisant de prouver qu'elle est valable pour tout epsilon supérieur à 0, en remplaçant V par ]x0-epsilon, x0+epsilon[, et même x appartiens à V par |x-x0| < epsilon.

Mais dans N, il n'est jamais nécéssaire de prouver qu'un énoncé est valable pour tout voisinage de l'infini, car cela reviendrait à dire qu'il est valable pour tout entier n.


Donc, non, vraiment, la piste de la base de voisinages me parait fausse.


Non, vraiment, qu'est-ce que l'auteur a voulu dire, mystère... C'est même plus une coquille ou un contre-sens, ou un oubli, c'est juste un OVNI cette phrase...