[B]Ah toujours des suites de plus en plus compliquées[/B]

[titi69]

4. Soit la fonction définie par et (pour ).

Déterminer

[girdav]

Bonjour,
on peut poser et . La relation de récurrence devrait donner une équation satisfaite par .

[busard_des_roseaux]

4. Soit la fonction définie par et (pour ).

Déterminer

ça j'adoooore. le côté "calcul formel" où les indices jouent le rôle
d'exposants, c'est toujours fascinant.
c'est presque un produit de Cauchy (convolution). :arf: :technicol

[titi69]

C'est quand même bizarre comme formule étant donné que je suis en première année et que je n'ai pas encore vu quoique ce soit d'aussi compliqué, donc je me demande si il n'y a pas plus simple...Je vais quand même essayer mais notre prof n'en attend pas autant je penses.

[busard_des_roseaux]

C'est quand même bizarre comme formule étant donné que je suis en première année et que je n'ai pas encore vu quoique ce soit d'aussi compliqué, donc je me demande si il n'y a pas plus simple...Je vais quand même essayer mais notre prof n'en attend pas autant je penses.

oui, mais l'exo est véritablement passionnant
car il se traite à plusieurs niveaux scolaires:

i) niveau 1

on calcule les premiers termes. A cause du calcul formel
et d'autres raisons plus profondes, on doit avoir une formule
simple à récurrrer, du style



faut donc faire une récurrence forte

ii) niveau 2
utiliser les séries numériques. ça évite de récurrer,
mais il faut vérifier la convergence de la série

iii) niveau 4

pour expliciter l'aspect "calcul formel" , considérer les opérateurs linéaires


(masse de dirac en k)
et sans doute un translaté, opérateur linéaire:



où

Par dualité, l'idée est de transposer la convolution en
élévation à la puissance sur l'opérateur pour obtenir une formule amusante
et immédiate.

içi, si la formule de récurrence niveau 1 que j'ai subodorée
u(n+1)=n+1
est vérifiée
ça donnerait quelque chose du style



à légitimer ... ce qui fait que par élévation à la puissance n de l'opérateur de translation, la masse de Dirac s'enfuit à l'infini..un truc comme ça.

demande au prof par curiosité :doh:

[titi69]

Bon ben j'aimerais un indice pas trop compliqué pour débuter mais je sais que l'on a vu la récurrence forte récemment donc je penses que c'est ce que je vais devoir utiliser. Je posterais si j'ai des nouvelles idées pour résoudre ce problème mais envoyez moi des pistes de niveau 1 pas trop compliquées et je verrais si c'est de mon niveau.

[busard_des_roseaux]

en niveau 1, c'est ok.

calculer les Sigma de proche en proche avec une récurrence forte.
tu devrais obtenir un résultat étonnament simple.


oublie pas de demander au prof pour le calcul formel:
mots clés= convolution ,masse de Dirac, opérateur linéaire.

[titi69]

ok pas de problème j'espère juste qu'elle ne va pas m'envoyer sur un raisonnement auquel je ne comprendrais rien du tout.

Edit: Busard qu'entends tu de sigma par proche en proche ?

[busard_des_roseaux]

ok pas de problème j'espère juste qu'elle ne va pas m'envoyer sur un raisonnement auquel je ne comprendrais rien du tout.

Edit: Busard qu'entends tu de sigma par proche en proche ?

je dois aller faire dodo

, le signe somme:


on le calcule pour n=0.

une fois que c'est fait, pour n=1.

puis pour n=2...

[busard_des_roseaux]

Bj,

on va regarder l'exo au niveau 1

il est bon de se préparer un petit triangle de Pascal
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

on pose

le seul souçi, c d'effectuer les calculs dans l'ordre








et là, on subodore que

contrairement à ma première impression (hâtive).

[busard_des_roseaux]

niveau 4

le côté "opérateur linéaire" , "convolution" et "masse de Dirac"
c'est que si tu poses

au lieu de

il vient



et que si on écrit ça avec une forme linéaire



(on applique, de manière linéaire à la suite (u), sa valeur qu'elle prend en n=0)

alors u(n) va être la puissance n d'un opérateur pour un produit, sans doute de convolution, qui reste à définir.

à suivre.............

[titi69]

ah oui c'est déjà beaucoup plus clair merci. Mais que veux dire le verbe subodorer ?

[busard_des_roseaux]

ah oui c'est déjà beaucoup plus clair merci. Mais que veux dire le verbe subodorer ?

ici ...................

pour le calcul formel, j'y arrive pas, je ne sais si je me plante :hum:

on pose


l'application, qui à la suite (u) associe sa valeur en n=0

est linéaire et s'appelle "masse de Dirac" en n=0
on la note
ça récurre bien et on trouve pareil


conclusion: est-ce que , dans le calcul formel, les "pseudo-opérations" peuvent s'interprèter comme des produits sur des opérateurs (linéaires).
et donc que l'on passe d'opérations très bizarroïdes sur les suites
à de vraies opérations sur les opérateurs...

[busard_des_roseaux]

................................

[girdav]

Sinon comme le terme de droite de la relation de récurrence fait penser à la formule du binôme on peut dans un premier temps tenter avec à déterminer.

[titi69]

Il n'y aurais pas du binome de Newton dans cette suite ?
Edit: Oui c'est bien ce que je me disais mais comment trouver le premier terme ? on remplace n par 1 ou bien c'est k que l'on remplace ?

[busard_des_roseaux]

On remplace n par zéro puis on fait varier k
On remplace n par 1 puis on fait varier de nouveau k