[MPSI] Vecteurs propres

[Anonyme]

Bonjours à tous,

J'ai du mal à trouver une solution à une question de mon DM, je vous serrais
reconnaissant de me donner un petit coup de pouce. Merci d'avance, voici
l'énoncé:

On appelle f l'endomorphisme associé à la matrice A appartenant à M3(R) et h
l'endomorphisme associé à la matrice t(A). (t désignant la transposée)

On me demande de montrer que si u est vecteur propre de h, le plan vectoriel
orthogonal à u. est stable par f.

Bon j'ai déjà répondu à pas mal de questions préliminaires et j'ai "traduis"
toutes les hypothèses, je pense qu'il faut caractériser le plan vectoriel
par xv+yw, avec les vecteurs v et w orthogonaux à u, donc dont le produit
scalaire est nul. J'ai utilisé la linéarité de f mais je n'arrive pas à
conclure...

[Anonyme]

Julien Michelot wrote:
> Bonjours à tous,
>
> J'ai du mal à trouver une solution à une question de mon DM, je vous serrais
> reconnaissant de me donner un petit coup de pouce. Merci d'avance, voici
> l'énoncé:
>
> On appelle f l'endomorphisme associé à la matrice A appartenant à M3(R) et h
> l'endomorphisme associé à la matrice t(A). (t désignant la transposée)
>
> On me demande de montrer que si u est vecteur propre de h, le plan vectoriel
> orthogonal à u. est stable par f.
>
> Bon j'ai déjà répondu à pas mal de questions préliminaires et j'ai "traduis"
> toutes les hypothèses, je pense qu'il faut caractériser le plan vectoriel
> par xv+yw, avec les vecteurs v et w orthogonaux à u, donc dont le produit
> scalaire est nul. J'ai utilisé la linéarité de f mais je n'arrive pas à
> conclure...

Quelques indications (t pour transposée):

* v orthogonal à u ... * u = 0
* t(Mv)u = t(...)t(...)u = ... (u est vecteur propre de quoi ?)
* donc ?

J'essaie de ne pas en dire trop, alors il est possible que je n'en
dise pas assez.