J'ai un gros problème en ce qui concerne la démonstration de la formation d'un système libre de p vecteurs propres associés à p valeurs propres distinctes. Je vous fais part de la démonstration qui m'est proposée, puis de mon point bloquant.
Soit f un endomorphisme de l'espace E, dimE = n, possédant n valeurs propres distinctes L1, L2, ..., Ln.
D'une façon générale considérons p valeurs propres distinctes de f, et des vecteurs propres associés U1, U2, ..., Up : qui engendrent un sous-espace F de E tel que si ai sont des scalaires i {1, 2, ..., n}
v F => f(v) = som i->p ai.Li.Ui
donc f(v) F , f(F) c F et dimF = q
La restriction g de f à F est un endomorphisme de F dont L1, L2, ..., Ln sont les valeurs propres, elles sont donc racines du polynôme caractéristique de g qui est de degré q, on a donc p
D'où le théorème : si L1, L2, ..., Ln sont p valeurs propres distinctes de l'endomorphisme f, p vecteurs porpres associés respectivement à ces valeurs propres forment un système libre.
Voici donc mon point bloquant :
comment peut-on conclure que (U1, U2, ..., Un) est une base avec pour seul affirmation (démontrée) p = q , soit dimF = dimf(F) ?
Je vous remercie par avance de votre aide salvatrice, ce problème me rongeant et me minant depuis quelques jours ...